Debe determinar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función f(x,y)=(x2+y2)e−2x
 en el dominio circular D
 definido por x2+y2≤1
. Para hacerlo, estudie los puntos críticos de f
 que pertenecen al dominio circular D
 y clasifíquelos por medio del criterio de la derivada segunda. Además, analice los valores extremos de f
 en la frontera de D
, por ejemplo por el método de multiplicadores de Lagrange. Y responda:

El máximo es 

Para encontrar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función \( f(x, y) = (x^2 + y^2)e^{-2x} \) en el dominio circular \( D \) definido por \( x^2 + y^2 \leq 1 \), seguiremos estos pasos:

1. **Encontrar los puntos críticos dentro del dominio \( D \).**
2. **Clasificar esos puntos críticos utilizando el criterio de la derivada segunda.**
3. **Analizar los valores extremos en la frontera de \( D \) utilizando multiplicadores de Lagrange.**
4. **Comparar los valores obtenidos en los puntos críticos y en la frontera para determinar el máximo y el mínimo absolutos.**

### 1. Encontrar los puntos críticos dentro del dominio \( D \)

Para encontrar los puntos críticos de \( f(x, y) = (x^2 + y^2)e^{-2x} \), calculamos las derivadas parciales y las igualamos a cero.

#### Derivada parcial con respecto a \( x \):

\[
f_x = \frac{\partial}{\partial x} \left((x^2 + y^2)e^{-2x}\right) = 2xe^{-2x} - 2(x^2 + y^2)e^{-2x}
\]

\[
= e^{-2x}(2x - 2x^2 - 2y^2)
\]

#### Derivada parcial con respecto a \( y \):

\[
f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left((x^2 + y^2)e^{-2x}\right) = 2ye^{-2x}
\]

Para que ambos derivadas sean cero:

\[
f_x = 0 \implies e^{-2x}(2x - 2x^2 - 2y^2) = 0 \implies 2x - 2x^2 - 2y^2 = 0 \implies x - x^2 - y^2 = 0
\]

\[
f_y = 0 \implies 2ye^{-2x} = 0 \implies y = 0
\]

Sustituyendo \( y = 0 \) en \( x - x^2 - y^2 = 0 \):

\[
x - x^2 = 0 \implies x(x-1) = 0 \implies x = 0 \ \text{o} \ x = 1
\]

Por lo tanto, los puntos críticos dentro del dominio son \( (0, 0) \) y \( (1, 0) \).

### 2. Clasificar los puntos críticos usando el criterio de la derivada segunda

Calculamos la matriz Hessiana en los puntos críticos:

\[
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(2xe^{-2x} - 2(x^2 + y^2)e^{-2x}) = e^{-2x}(2 - 4x + 4x^2 + 4y^2)
\]

\[
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(2ye^{-2x}) = 2e^{-2x}
\]

\[
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2xe^{-2x} - 2(x^2 + y^2)e^{-2x}) = -4ye^{-2x}
\]

Calculamos el discriminante \( D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 \) en los puntos críticos:

1. En \( (0, 0) \):

\[
f_{xx}(0, 0) = 2e^0 = 2, \quad f_{yy}(0, 0) = 2e^0 = 2, \quad f_{xy}(0, 0) = 0
\]

\[
D = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0 \implies \text{mínimo local}
\]

2. En \( (1, 0) \):

\[
f_{xx}(1, 0) = 2e^{-2}(2 - 4 + 4) = 4e^{-2}, \quad f_{yy}(1, 0) = 2e^{-2}, \quad f_{xy}(1, 0) = 0
\]

\[
D = 4e^{-2} \cdot 2e^{-2} = 8e^{-4} > 0 \implies \text{máximo local}
\]

### 3. Análisis de la frontera de \( D \) con multiplicadores de Lagrange

Usamos la restricción \( g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0 \). Definimos la función Lagrangiana:

\[
\mathcal{L}(x, y, \lambda) = (x^2 + y^2)e^{-2x} + \lambda (x^2 + y^2 - 1)
\]

Calculamos las derivadas parciales y las igualamos a cero:

\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2xe^{-2x} - 2(x^2 + y^2)e^{-2x} + 2\lambda x = 0
\]

\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2ye^{-2x} + 2\lambda y = 0
\]

\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 - 1 = 0
\]

De \( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0 \), tenemos:

\[
2ye^{-2x} + 2\lambda y = 0 \implies y(1 + \lambda) = 0 \implies y = 0 \ \text{o} \ \lambda = -1
\]

1. Si \( y = 0 \), tenemos \( x^2 = 1 \), es decir, los puntos \( (1, 0) \) y \( (-1, 0) \). Evaluamos:

\[
f(1, 0) = e^{-2} \quad \text{y} \quad f(-1, 0) = 1
\]

2. Si \( \lambda = -1 \):

\[
x = \cos(\theta), \ y = \sin(\theta)
\]

Evaluamos \( f(x, y) \) en la frontera:

\[
f(\cos(\theta), \sin(\theta)) = e^{-2\cos(\theta)}
\]

El valor máximo en la frontera ocurre cuando \( \cos(\theta) = -1 \), dando \( f(-1, 0) = 1 \).

### 4. Comparación de valores

- \( f(0, 0) = 0 \): mínimo absoluto.
- \( f(1, 0) = e^{-2} \): máximo local.
- \( f(-1, 0) = 1 \): máximo absoluto.

### Respuesta Final:

El máximo absoluto de la función \( f(x, y) = (x^2 + y^2)e^{-2x} \) en el dominio \( D \) es \( \boxed{1} \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre el procedimiento?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo afecta la elección del dominio a la determinación de los máximos y mínimos de una función?
2. ¿Qué otros métodos podrían utilizarse para encontrar los extremos de una función en un dominio cerrado?
3. ¿Qué propiedades de la función \( f(x, y) = (x^2 + y^2)e^{-2x} \) son importantes para el análisis de extremos?
4. ¿Cómo se puede interpretar geométricamente el resultado de un máximo absoluto en un dominio?
5. ¿Qué papel juegan los multiplicadores de Lagrange en la optimización de funciones con restricciones?

**Tip**: Para encontrar máximos y mínimos absolutos en un dominio cerrado y acotado, siempre revisa tanto los puntos críticos dentro del dominio como en la frontera.

Learn how to find the absolute maximum and minimum of the function f(x, y) = (x^2 + y^2)e^{-2x} within the circular domain defined by x^2 + y^2 ≤ 1. Detailed steps include finding critical points, using the second derivative test, and applying Lagrange multipliers on the boundary. Suitable for college-level students studying multivariable calculus.

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