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rellena el punto vacio (ninguna es correcta, la funcion f tiene derivadas parciales sobre el punto de la curva resticcion, la funcion f es continua en los puntos de la curva)

En la imagen, se te presenta un campo escalar diferenciable \( f \) (gráfico de curvas de nivel) y una curva roja \( g(x,y) = 0 \) (gráfico de la derecha, junto a las curvas de nivel de \( f \)). La pregunta sugiere determinar cuál es la condición necesaria para asegurar que la función \( f \), restringida a los puntos de la curva \( g(x,y) = 0 \), alcanza extremos absolutos sobre la restricción.

Para que podamos garantizar que \( f \) alcanza extremos absolutos en la restricción impuesta por la curva, necesitamos que:

1. **La función \( f \) sea continua en los puntos de la curva**: La continuidad asegura que los valores extremos se alcanzan efectivamente en algún punto de la curva, dado que \( f \) no tendrá saltos o discontinuidades a lo largo de la restricción.

2. **La función \( f \) tenga derivadas parciales sobre los puntos de la curva de restricción**: Esto permite aplicar técnicas como los multiplicadores de Lagrange para localizar estos extremos relativos.

Sin embargo, la opción correcta en este contexto parece ser:

- **La función \( f \) es continua en los puntos de la curva**.

Esto es suficiente para asegurar que los extremos absolutos se alcanzan sobre la restricción, siempre y cuando \( f \) también esté acotada en el dominio considerado.

¿Te gustaría profundizar en alguno de estos conceptos o necesitas más detalles sobre cómo identificar extremos en problemas de optimización restringida?

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Por qué es importante la continuidad para garantizar la existencia de extremos?
2. ¿Cómo los multiplicadores de Lagrange ayudan a encontrar puntos de extremo en una restricción?
3. ¿Qué ocurre si la función \( f \) no es diferenciable en la curva de restricción?
4. ¿Qué relación existe entre la acotación de la función y la existencia de extremos absolutos?
5. ¿Qué papel juega la convexidad del dominio en la optimización de funciones? 

**Tip:** Cuando trabajes con optimización restringida, es fundamental verificar tanto la continuidad como la diferenciabilidad de la función en el dominio y en la frontera impuesta por la restricción.

Explore how optimization problems are solved using Lagrange multipliers in multivariable calculus. Learn the conditions under which a function reaches absolute extrema on a constraint curve, focusing on continuity and differentiability. Suitable for undergraduate students studying calculus and optimization.

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