Para rotar el vector \((x, y, z)\) utilizando el operador de rotación \((1, \cos(\xi)i, \sin(\xi)j, 0k)\), interpretamos que esta rotación se refiere a un ángulo \(\xi\) que rota alrededor de un eje específico. Aquí, el operador indica una rotación en el plano \(yz\), es decir, alrededor del eje \(x\).

### Paso 1: Interpretación del operador de rotación

El operador de rotación \((1, \cos(\xi)i, \sin(\xi)j, 0k)\) sugiere una rotación en el plano \(yz\). Este operador se puede describir mediante la siguiente matriz de rotación, que rota alrededor del eje \(x\):

\[
R_x(\xi) = 
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos(\xi) & -\sin(\xi) \\
0 & \sin(\xi) & \cos(\xi)
\end{pmatrix}
\]

### Paso 2: Aplicación de la rotación al vector \((x, y, z)\)

Para obtener el vector resultante después de aplicar esta rotación, multiplicamos la matriz de rotación por el vector original:

\[
\begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
z'
\end{pmatrix}
=
R_x(\xi)
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos(\xi) & -\sin(\xi) \\
0 & \sin(\xi) & \cos(\xi)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
\]

Al multiplicar las matrices, obtenemos:

\[
\begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
z'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x \\
y\cos(\xi) - z\sin(\xi) \\
y\sin(\xi) + z\cos(\xi)
\end{pmatrix}
\]

### Resultado final

Después de la rotación, el vector \((x, y, z)\) se transforma en:

\[
\begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
z'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x \\
y\cos(\xi) - z\sin(\xi) \\
y\sin(\xi) + z\cos(\xi)
\end{pmatrix}
\]

Esto significa que el componente \(x\) del vector original permanece sin cambios, mientras que los componentes \(y\) y \(z\) se combinan y se modifican en función del ángulo \(\xi\).

---

¿Necesitas alguna aclaración adicional o más detalles sobre cómo se realiza esta rotación?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se derivan las matrices de rotación en 3D?
2. ¿Qué ocurre si se rota un vector en torno a un eje diferente al eje \(x\)?
3. ¿Cómo se aplica la rotación de un vector utilizando cuaterniones en lugar de matrices?
4. ¿Cómo afectan las rotaciones compuestas a un vector en 3D?
5. ¿Cómo se calculan las coordenadas de un punto después de una rotación en un sistema de coordenadas tridimensional?

**Tip:** Al trabajar con rotaciones en 3D, es útil conocer las matrices de rotación estándar para los ejes \(x\), \(y\) y \(z\), ya que estas son la base para muchas transformaciones más complejas.

Learn how to rotate vector (x, y, z) using the rotation operator (1, cos(xi)i, sin(xi)j, 0k). Understand the matrix rotation process and its application to transform 3D vectors. Suitable for advanced mathematics enthusiasts and students.

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