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dime paso a paso como se resuelve este limite

Para resolver el límite que has proporcionado:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{(-2)^x + 3^x}{(-2)^{x+1} + 3^{x+1}},
\]

seguiremos los siguientes pasos:

### Paso 1: Simplificar la expresión original
Observamos que tanto en el numerador como en el denominador, hay términos de la forma \((-2)^x\) y \(3^x\). Es importante notar que conforme \(x\) tiende a infinito, \(3^x\) crece más rápido que \((-2)^x\), ya que la base 3 es mayor que la base -2 (en valor absoluto).

### Paso 2: Factorizar el término dominante
Dado que \(3^x\) domina a \((-2)^x\) cuando \(x \to \infty\), factoricemos \(3^x\) tanto en el numerador como en el denominador:

Numerador:
\[
(-2)^x + 3^x = 3^x \left(\frac{(-2)^x}{3^x} + 1\right)
\]

Denominador:
\[
(-2)^{x+1} + 3^{x+1} = 3^{x+1} \left(\frac{(-2)^{x+1}}{3^{x+1}} + 1\right)
\]

### Paso 3: Simplificación de la fracción
Ahora, sustituimos las expresiones factorizadas en la fracción original:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{3^x \left(\frac{(-2)^x}{3^x} + 1\right)}{3^{x+1} \left(\frac{(-2)^{x+1}}{3^{x+1}} + 1\right)}
\]

Podemos simplificar \(3^x\) y \(3^{x+1}\):

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{(-2)^x}{3^x} + 1}{\frac{(-2)^{x+1}}{3^{x+1}} + 1}
\]

### Paso 4: Evaluar los términos residuales
Analicemos los términos \(\frac{(-2)^x}{3^x}\) y \(\frac{(-2)^{x+1}}{3^{x+1}}\):

\[
\frac{(-2)^x}{3^x} = \left(\frac{-2}{3}\right)^x
\]

Como \(\left|\frac{-2}{3}\right| < 1\), este término tiende a cero cuando \(x \to \infty\).

Similarmente,

\[
\frac{(-2)^{x+1}}{3^{x+1}} = \left(\frac{-2}{3}\right)^{x+1}
\]

también tiende a cero cuando \(x \to \infty\).

### Paso 5: Concluir el límite
Sustituyendo en la expresión simplificada:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 1}{0 + 1} = \frac{1}{3}
\]

### Resultado
El límite es:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{(-2)^x + 3^x}{(-2)^{x+1} + 3^{x+1}} = \frac{1}{3}.
\]

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo afectan los diferentes términos de la ecuación al comportamiento del límite?
2. ¿Qué pasaría si la base del exponente fuera diferente de 3, por ejemplo, 4 o 5?
3. ¿Cómo se comportaría el límite si cambiamos los signos de los términos en la expresión?
4. ¿Por qué es importante el término dominante en el análisis de límites?
5. ¿Cómo podríamos abordar límites que involucren raíces en lugar de exponentes?

### Tip:
Cuando trabajes con límites, identifica siempre el término dominante, ya que este generalmente determina el comportamiento del límite conforme la variable tiende a infinito o menos infinito.

Aprende cómo resolver el límite lim (x -> ∞) ((-2)^x + 3^x) / ((-2)^(x+1) + 3^(x+1)) paso a paso. Este problema cubre conceptos avanzados de límites, funciones exponenciales y análisis asintótico. Adecuado para estudiantes de secundaria avanzada.

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