Vamos a resolver cada ejercicio paso a paso:

### **Ejercicio 1: Optimización de la construcción de una caja**

Se desea construir una caja prismática de base cuadrada con tapa que tenga un volumen de \(0.864 \, \text{m}^3\). Las láminas se realizan en fibras naturales de 5 cm de espesor para las laterales y de 3 cm para la base y la tapa.

#### **Solución:**

1. **Definición de variables:**
   - Sea \(x\) el lado de la base cuadrada de la caja.
   - Sea \(h\) la altura interna de la caja.
   - La base tiene un espesor de \(3 \, \text{cm} = 0.03 \, \text{m}\).
   - Las paredes laterales tienen un espesor de \(5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m}\).

2. **Relaciones geométricas:**
   - El volumen interno de la caja es \(x^2 h = 0.864 \, \text{m}^3\).

3. **Altura total considerando el espesor de la base:**
   \[
   H = h + 0.03
   \]

4. **Lado total considerando el espesor de las paredes laterales:**
   \[
   L = x + 2 \times 0.05 = x + 0.1
   \]

5. **Cálculo de las áreas:**
   - Área de la base: \((x + 0.1)^2\)
   - Área de la tapa: \((x + 0.1)^2\)
   - Área de las paredes laterales: \(4(x + 0.1)H\)

6. **Coste de la construcción (supongamos que el coste es proporcional al área):**
   \[
   C(x) = k [(x + 0.1)^2 + (x + 0.1)^2 + 4(x + 0.1)(h + 0.03)]
   \]

   Dado que \(x^2h = 0.864\), podemos despejar \(h = \frac{0.864}{x^2}\).

7. **Función a minimizar:**
   \[
   C(x) = 2(x + 0.1)^2 + 4(x + 0.1)\left(\frac{0.864}{x^2} + 0.03\right)
   \]

8. **Derivada de \(C(x)\) respecto a \(x\) y buscar los puntos críticos:**
   - Derivada: \(\frac{dC}{dx}\)
   - Encontrar valores de \(x\) para los cuales \(\frac{dC}{dx} = 0\).

9. **Solución para \(x\) y calcular \(h\):**
   - Usar los valores de \(x\) para calcular el valor correspondiente de \(h\).

### **Ejercicio 2: Momentos de inercia y centro de gravedad**

Para resolver este ejercicio, necesitamos calcular el centroide y los momentos de inercia de la figura dada en el gráfico.

1. **Descomposición en formas geométricas básicas:**
   - Dividir la figura en rectángulos o cuadrados para simplificar los cálculos.

2. **Centroide de cada forma:**
   - Calcular las coordenadas \((\bar{x}, \bar{y})\) del centroide para cada sección.

3. **Centroide de la figura completa:**
   \[
   \bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot A_i)}{\sum A_i}, \quad \bar{y} = \frac{\sum (y_i \cdot A_i)}{\sum A_i}
   \]
   donde \(A_i\) es el área de cada sección y \((x_i, y_i)\) son las coordenadas del centroide de cada sección.

4. **Momento de inercia respecto a los ejes:**
   - Momento de inercia respecto al eje \(x\): \(I_x = \sum (I_{x_i} + A_i d_y^2)\)
   - Momento de inercia respecto al eje \(y\): \(I_y = \sum (I_{y_i} + A_i d_x^2)\)

   Aquí, \(d_x\) y \(d_y\) son las distancias desde el centroide de cada sección al eje global.

### **Ejercicio 3: Área, centroide y volumen de revolución**

Dado \(f(x) = x^3\), se deben calcular varios aspectos de la región encerrada por esta curva y otras líneas.

1. **Área encerrada:**
   \[
   \text{Área} = \int_{a}^{b} (8 - x^3) \, dx
   \]
   donde \(x^3 = 8\) da \(x = 2\), entonces \(a = 0, b = 2\).

2. **Centroide de la región:**
   - Coordenadas del centroide: \(\bar{x}, \bar{y}\) usando las fórmulas de centroides para regiones planas.

3. **Volumen del sólido de revolución alrededor del eje \(y\):**
   \[
   V = \pi \int_{a}^{b} x^2 (f(x)) \, dx
   \]

### **Ejercicio 4: Recta tangente y normal**

Dado \(F(x) = -x^2 + 5\):

1. **Derivada para hallar la pendiente de la tangente:**
   \[
   F'(x) = -2x
   \]
   En \(x = 1\), la pendiente es \(F'(1) = -2\).

2. **Ecuación de la recta tangente:**
   \[
   y - F(1) = F'(1)(x - 1)
   \]

3. **Ecuación de la recta normal:**
   - Pendiente normal es \(1/F'(1)\), ya que es perpendicular a la tangente.

### **Ejercicio 5: Área y momentos en la región circular**

Para la región \(x^2 + y^2 = 4\) en el primer cuadrante:

1. **Área de la región:**
   \[
   \text{Área} = \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx
   \]

2. **Centroide:**
   - Coordenadas \((\bar{x}, \bar{y})\) usando integrales.

3. **Momentos de inercia respecto a los ejes:**
   \[
   I_x = \int_{0}^{2} y^2 \, dA, \quad I_y = \int_{0}^{2} x^2 \, dA
   \]

¿Te gustaría ver algún paso en detalle o necesitas más ayuda con un problema específico? Aquí hay algunas preguntas relacionadas para pensar:

1. ¿Cómo se calcula el volumen de un sólido de revolución?
2. ¿Qué métodos existen para encontrar el centroide de una figura compuesta?
3. ¿Cómo afecta el espesor de los materiales en el cálculo del coste de una estructura?
4. ¿Cómo se determinan los momentos de inercia para figuras no simétricas?
5. ¿Cuáles son los usos prácticos de las rectas tangentes y normales en la ingeniería y la física?

**Tip:** Recuerda que el centroide de una figura puede ser interpretado como el "centro de masa" si la densidad es uniforme en toda la figura.

Descubre cómo resolver paso a paso ejercicios de geometría, cálculo integral, derivadas y más. Incluye ejercicios detallados sobre áreas, volúmenes, centroides y momentos de inercia. Adecuado para estudiantes universitarios y profesionales en matemáticas y física.

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