- Se tienen dos figuras semejantes y las relaciones entre sus volúmenes es  1 2 V V  27 .  La relación entre sus áreas será:

Para resolver la relación entre las áreas de dos figuras semejantes dado que la relación entre sus volúmenes es \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{27}\), podemos seguir los siguientes pasos:

1. **Relación entre los lados (escalas lineales):** 
   Dado que los volúmenes de dos figuras semejantes están relacionados por el cubo de la relación de sus lados, podemos escribir:
   \[
   \left(\frac{L_1}{L_2}\right)^3 = \frac{V_1}{V_2}
   \]
   Sustituyendo la relación de volúmenes:
   \[
   \left(\frac{L_1}{L_2}\right)^3 = \frac{1}{27}
   \]
   Tomando la raíz cúbica en ambos lados:
   \[
   \frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{3}
   \]

2. **Relación entre las áreas:**
   Las áreas de dos figuras semejantes están relacionadas por el cuadrado de la relación de sus lados:
   \[
   \frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{L_1}{L_2}\right)^2
   \]
   Sustituyendo la relación de lados que obtuvimos:
   \[
   \frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}
   \]

Por lo tanto, **la relación entre sus áreas es \(\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{9}\)**.

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7. ¿Cómo se puede aplicar este concepto en problemas de la vida real?
8. ¿Existen excepciones a estas relaciones en geometría?

### Tip:
Cuando trabajes con figuras semejantes, recuerda que las relaciones de áreas son siempre el cuadrado de la razón de sus lados, mientras que las relaciones de volúmenes son el cubo de esa razón.

Understand how to determine the relationship between areas of similar figures when the volume ratio is given. Explore the mathematical steps involved in deriving the area ratio from the volume ratio of similar figures. Suitable for high school students.

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