Exprese la región R como un conjunto por comprensión, en términos de las coordenadas polares (r, 0), donde R es exterior a la circunferencia con ecuación x ^ 2 + y ^ 2 = 4x e interior a la circunferencia x ^ 2 + y ^ 2 = 8x de modo que 0 € [0°,90

Para expresar la región \( R \) como un conjunto por comprensión en términos de las coordenadas polares \( (r, \theta) \), primero debemos analizar las ecuaciones de las circunferencias dadas y transformarlas al sistema de coordenadas polares.

### Paso 1: Convertir las ecuaciones de las circunferencias a polares.

La ecuación general de una circunferencia en coordenadas cartesianas es:

\[
x^2 + y^2 = r^2
\]

#### Primera circunferencia: \( x^2 + y^2 = 4x \)
- Reorganizamos la ecuación:

\[
x^2 + y^2 - 4x = 0
\]

- Completamos el cuadrado:

\[
(x - 2)^2 + y^2 = 4
\]

Esta es la ecuación de una circunferencia de radio 2 y centro en \( (2, 0) \).

En coordenadas polares, \( x = r \cos \theta \) y \( y = r \sin \theta \), entonces:

\[
r^2 = 4r \cos \theta
\]

Dividiendo ambos lados por \( r \) (asumiendo \( r \neq 0 \)):

\[
r = 4 \cos \theta
\]

Esta es la ecuación en coordenadas polares para la primera circunferencia.

#### Segunda circunferencia: \( x^2 + y^2 = 8x \)
- Reorganizamos de forma similar:

\[
x^2 + y^2 - 8x = 0
\]

- Completamos el cuadrado:

\[
(x - 4)^2 + y^2 = 16
\]

Esta es la ecuación de una circunferencia de radio 4 y centro en \( (4, 0) \).

En coordenadas polares, la ecuación es:

\[
r^2 = 8r \cos \theta
\]

Dividiendo ambos lados por \( r \) (asumiendo \( r \neq 0 \)):

\[
r = 8 \cos \theta
\]

### Paso 2: Expresar la región \( R \) como un conjunto en coordenadas polares.

La región \( R \) está definida como exterior a la primera circunferencia y al mismo tiempo interior a la segunda circunferencia. Esto significa que \( r \) debe estar comprendido entre las dos funciones polares obtenidas. Además, se da que \( \theta \in [0^\circ, 90^\circ] \), que corresponde al primer cuadrante.

Por lo tanto, la región \( R \) se puede expresar como:

\[
R = \left\{ (r, \theta) \mid 4 \cos \theta < r < 8 \cos \theta, \, 0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ \right\}
\]

### Paso 3: Interpretación final

- La región \( R \) está en el primer cuadrante (\( 0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ \)).
- El radio \( r \) está entre las circunferencias \( r = 4 \cos \theta \) y \( r = 8 \cos \theta \).

¿Te gustaría que te explique algún paso en más detalle?

### 5 Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se transforma una ecuación cartesiana a coordenadas polares?
2. ¿Qué significa "completar el cuadrado" y cómo se usa en geometría?
3. ¿Cómo afecta el ángulo \( \theta \) a la forma de las curvas en coordenadas polares?
4. ¿Cómo se determina la región exterior o interior a una circunferencia en coordenadas polares?
5. ¿Qué propiedades especiales tiene el cuadrante definido por \( 0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ \)?

### Tip:
Para transformar ecuaciones cartesianas a coordenadas polares, recuerda que \( x = r \cos \theta \) y \( y = r \sin \theta \).

Exprese la región R como un conjunto por comprensión, en términos de las coordenadas polares (r, θ), donde R es exterior a la circunferencia con ecuación x^2 + y^2 = 4x e interior a la circunferencia x^2 + y^2 = 8x de modo que 0° ≤ θ ≤ 90°.

Aprende cómo expresar una región en términos de coordenadas polares (r, θ) donde la región está fuera de una circunferencia x^2 + y^2 = 4x y dentro de x^2 + y^2 = 8x, con θ entre 0° y 90°. Se cubren conceptos de coordenadas polares y geometría de circunferencias.

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