Lee y analiza el siguiente planteamiento:

En una ciudad cercana al Pacífico, la tasa de crecimiento de la cantidad de lluvias por año es:

f′(t)=e^3t-8t, donde t está dada en años.

Además, el número de sismos moderados en esa ciudad está dado por:

(t^3/3+2)(t-5) con t en años.

2. Responde el siguiente cuestionamiento:

a) ¿Cuántas lluvias habrá entre  t=3 y t=7 ?
b) ¿Cuál es la razón de cambio instantánea del número de terremotos con respecto al tiempo cuando t = 3?  

3. Identifica información relacionada con las lluvias o con los sismos y elabora un breve reporte donde que integre los siguientes elementos:

a) Variables.
b) Frecuencia de ocurrencia.
c) En al menos 5 renglones, incluye una conclusión respecto a su relación con el teorema fundamental del cálculo, con las derivadas o antiderivadas

### Planteamiento:

1. **Tasa de crecimiento de lluvias:**  
   La tasa de crecimiento de la cantidad de lluvias por año en una ciudad está dada por la función derivada de la cantidad de lluvias \( f'(t) = e^{3t} - 8t \), donde \( t \) representa el tiempo en años.

2. **Número de sismos moderados:**  
   El número de sismos moderados por año está descrito por la función \( g(t) = \left( \frac{t^3}{3} + 2 \right)(t - 5) \).

---

### Solución de los cuestionamientos:

#### a) **¿Cuántas lluvias habrá entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \)?**

Para encontrar la cantidad de lluvias acumuladas entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \), integramos la tasa de crecimiento \( f'(t) \) en el intervalo \([3, 7]\). Esto se puede expresar como:

\[
\text{Cantidad de lluvias} = \int_3^7 f'(t) \, dt = \int_3^7 (e^{3t} - 8t) \, dt
\]

Evaluemos esta integral:

\[
\int (e^{3t} - 8t) \, dt = \frac{e^{3t}}{3} - 4t^2 + C
\]

Ahora, calculamos los valores entre los límites \( t = 3 \) y \( t = 7 \):

\[
\left[ \frac{e^{3(7)}}{3} - 4(7)^2 \right] - \left[ \frac{e^{3(3)}}{3} - 4(3)^2 \right]
\]

Procedo a calcularlo.

#### b) **¿Cuál es la razón de cambio instantánea del número de terremotos con respecto al tiempo cuando \( t = 3 \)?**

La razón de cambio instantánea se calcula derivando la función que describe el número de sismos. La función es:

\[
g(t) = \left( \frac{t^3}{3} + 2 \right)(t - 5)
\]

Aplicamos la regla del producto para derivar \( g(t) \):

\[
g'(t) = \left( \frac{t^3}{3} + 2 \right)'(t - 5) + \left( \frac{t^3}{3} + 2 \right)(t - 5)'
\]

Simplificamos y evaluamos en \( t = 3 \):

\[
g'(t) = \left( t^2 \right)(t - 5) + \left( \frac{t^3}{3} + 2 \right)(1)
\]

Sustituyendo \( t = 3 \):

\[
g'(3) = \left( 3^2 \right)(3 - 5) + \left( \frac{3^3}{3} + 2 \right)
\]

Calculo los resultados ahora.

---

### Reporte:

**a) Variables:**
- \( f'(t) \): tasa de crecimiento de la cantidad de lluvias por año.
- \( t \): tiempo en años.
- \( g(t) \): número de sismos moderados por año.

**b) Frecuencia de ocurrencia:**
- La cantidad de lluvias está creciendo según la tasa \( f'(t) = e^{3t} - 8t \), lo que indica un crecimiento exponencial moderado con una disminución lineal.
- El número de sismos se relaciona con la función cúbica \( g(t) = \left( \frac{t^3}{3} + 2 \right)(t - 5) \), que combina un crecimiento y una disminución en el tiempo.

**c) Conclusión sobre el Teorema Fundamental del Cálculo y derivadas:**
El Teorema Fundamental del Cálculo establece que la integral de una función derivada en un intervalo dado proporciona el cambio neto en la cantidad original. En este contexto, al integrar \( f'(t) \) en el intervalo \([3, 7]\), encontramos la cantidad total de lluvias en ese periodo, utilizando la antiderivada para evaluar el cambio acumulado. Asimismo, la derivada de la función de sismos, \( g(t) \), permite calcular la tasa de cambio instantánea en un tiempo específico, lo que nos indica cómo está evolucionando la cantidad de sismos en ese instante.

---

Voy a realizar los cálculos exactos de las preguntas anteriores.### Resultados de los cálculos:

1. **Cantidad de lluvias entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \):**
   La cantidad total de lluvias acumuladas entre estos años es:

   \[
   \text{Cantidad de lluvias} = \frac{e^{21}}{3} - \frac{e^9}{3} - 160
   \]

   Este resultado está expresado en función de exponentes. Si se requieren valores numéricos específicos, se puede aproximar usando una calculadora.

2. **Razón de cambio instantánea del número de terremotos en \( t = 3 \):**
   La razón de cambio instantánea del número de sismos en \( t = 3 \) es:

   \[
   g'(3) = -7
   \]

   Esto significa que, en el año 3, el número de sismos está disminuyendo a una tasa de 7 sismos por año.

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### Preguntas relacionadas:

1. ¿Qué interpretación física podemos darle a la tasa negativa de cambio en el número de sismos?
2. ¿Cómo influye la tasa de crecimiento de lluvias en el comportamiento futuro del clima en la región?
3. ¿Qué conclusiones se pueden sacar si la función de lluvias sigue aumentando exponencialmente?
4. ¿Es posible que la tasa de cambio de los sismos se vuelva positiva en años futuros? ¿Qué implicaría esto?
5. ¿Cómo afecta la integración de la función de lluvias a la predicción a largo plazo en términos de acumulación?

**Tip:** La derivada de una función nos dice cómo cambia su valor en un punto específico, mientras que la integral nos da el valor acumulado sobre un intervalo.

Lee y analiza el siguiente planteamiento: En una ciudad cercana al Pacífico, la tasa de crecimiento de la cantidad de lluvias por año es: f′(t)=e^3t-8t, donde t está dada en años. Además, el número de sismos moderados en esa ciudad está dado por: (t^3/3+2)(t-5) con t en años. 2. Responde el siguiente cuestionamiento: a) ¿Cuántas lluvias habrá entre  t=3 y t=7? b) ¿Cuál es la razón de cambio instantánea del número de terremotos con respecto al tiempo cuando t = 3?

Solve a calculus problem involving the rate of rainfall and earthquake frequency in a Pacific city. Learn how to integrate a function to calculate total rainfall and differentiate a function to find the instantaneous rate of change in earthquakes. This problem highlights the use of the Fundamental Theorem of Calculus and the Product Rule for derivatives.

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