Lee y analiza el siguiente planteamiento:

En una ciudad cercana al Pacífico, la tasa de crecimiento de la cantidad de lluvias por año es:

f′(t)=e3t−8t
, donde t
 está dada en años.

Además, el número de sismos moderados en esa ciudad está dado por:

(t33+2)(t−5)
 con t
 en años.

2. Responde el siguiente cuestionamiento:

a) ¿Cuántas lluvias habrá entre  t=3
 y t=7
 ?
b) ¿Cuál es la razón de cambio instantánea del número de terremotos con respecto al tiempo cuando t = 3?  

3. Identifica información relacionada con las lluvias o con los sismos y elabora un breve reporte donde que integre los siguientes elementos:

a) Variables.
b) Frecuencia de ocurrencia.
c) En al menos 5 renglones, incluye una conclusión respecto a su relación con el teorema fundamental del cálculo, con las derivadas o antiderivadas

### Análisis del Planteamiento

Se presentan dos funciones relacionadas con fenómenos naturales en una ciudad cercana al Pacífico:

1. **Tasa de crecimiento de la cantidad de lluvias por año**:
   \[
   f'(t) = e^{3t} - 8t
   \]
   donde \( t \) está en años.

2. **Número de sismos moderados en la ciudad**:
   \[
   g(t) = (t^3 + 2)(t - 5)
   \]
   con \( t \) también en años.

### 2. Cuestionamientos

#### a) ¿Cuántas lluvias habrá entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \)?

Para encontrar la cantidad total de lluvias en el intervalo dado, necesitamos calcular la integral de la tasa de crecimiento \( f'(t) \) en dicho intervalo, es decir, encontrar \( \int_{3}^{7} f'(t) \, dt \).

\[
\int_{3}^{7} \left( e^{3t} - 8t \right) \, dt
\]

Esto se descompone en dos integrales separadas:

\[
\int_{3}^{7} e^{3t} \, dt - \int_{3}^{7} 8t \, dt
\]

Calculamos cada integral por separado:

1. Para \( \int e^{3t} \, dt = \frac{e^{3t}}{3} + C \), evaluado en \( [3, 7] \):
   \[
   \left[ \frac{e^{3t}}{3} \right]_{3}^{7} = \frac{e^{21}}{3} - \frac{e^{9}}{3}
   \]

2. Para \( \int 8t \, dt = 4t^2 + C \), evaluado en \( [3, 7] \):
   \[
   \left[ 4t^2 \right]_{3}^{7} = 4(7^2) - 4(3^2) = 4(49) - 4(9) = 196 - 36 = 160
   \]

Sumando ambas integrales, tenemos la cantidad total de lluvias en el intervalo:

\[
\frac{e^{21}}{3} - \frac{e^{9}}{3} - 160
\]

Esta expresión da el resultado exacto en términos de \( e \).

#### b) ¿Cuál es la razón de cambio instantánea del número de terremotos con respecto al tiempo cuando \( t = 3 \)?

La razón de cambio instantánea se refiere a la derivada de \( g(t) \) con respecto a \( t \).

Calculamos \( g'(t) \) usando la regla del producto:
\[
g(t) = (t^3 + 2)(t - 5)
\]

\[
g'(t) = (3t^2)(t - 5) + (t^3 + 2)(1) = 3t^3 - 15t^2 + t^3 + 2 = 4t^3 - 15t^2 + 2
\]

Evaluamos \( g'(3) \):
\[
g'(3) = 4(3)^3 - 15(3)^2 + 2 = 4(27) - 15(9) + 2 = 108 - 135 + 2 = -25
\]

Por lo tanto, la razón de cambio instantánea del número de terremotos en \( t = 3 \) es \(-25\) terremotos por año.

### 3. Reporte

**a) Variables:**
- **Cantidad de lluvias:** Representada por la función \( f(t) \), cuya tasa de crecimiento es \( f'(t) = e^{3t} - 8t \).
- **Número de sismos moderados:** Representado por la función \( g(t) = (t^3 + 2)(t - 5) \).

**b) Frecuencia de ocurrencia:**
- La cantidad de lluvias se incrementa con el tiempo según la función exponencial y lineal, sugiriendo cambios significativos con el paso de los años.
- El número de sismos se comporta como una función cúbica con respecto al tiempo, indicando variaciones más complejas en su frecuencia.

**c) Conclusión:**

La relación entre estas funciones y el Teorema Fundamental del Cálculo es evidente en el problema de lluvias. Para determinar la cantidad total de lluvias, se utiliza la integral de la tasa de crecimiento \( f'(t) \), lo que representa la antiderivada de la función. Esto conecta directamente con la idea del Teorema Fundamental del Cálculo, donde la integral de la derivada de una función en un intervalo nos da el cambio acumulado de dicha función en ese intervalo.

Por otro lado, la derivada del número de sismos, \( g'(t) \), proporciona la tasa de cambio instantánea, lo que es fundamental en el análisis de fenómenos dinámicos como los terremotos. Este enfoque con las derivadas nos permite entender cómo varía la cantidad de terremotos en cualquier instante específico, ayudándonos a predecir su comportamiento.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este análisis?

#### Preguntas Relativas

1. ¿Cómo se interpreta físicamente el resultado de la integral de la tasa de crecimiento de lluvias?
2. ¿Qué significaría una razón de cambio instantánea positiva para la cantidad de sismos?
3. ¿Cuál sería el comportamiento de la función de lluvias si \( f'(t) \) fuese constante?
4. ¿Cómo afectaría el número de sismos si la función dependiera de un parámetro adicional, como la profundidad de los terremotos?
5. ¿Cómo se relaciona el concepto de antiderivada con el área bajo la curva de \( f'(t) \)?

**Tip:** Para problemas que involucran cambios acumulados a lo largo del tiempo, la integral es una herramienta clave para sumar estos cambios y entender el comportamiento total del sistema.

Lee y analiza el siguiente planteamiento: En una ciudad cercana al Pacífico, la tasa de crecimiento de la cantidad de lluvias por año es: f′(t)=e^3t−8t, donde t está dada en años. Además, el número de sismos moderados en esa ciudad está dado por: (t^3+2)(t−5) con t en años. 2. Responde el siguiente cuestionamiento: a) ¿Cuántas lluvias habrá entre t=3 y t=7? b) ¿Cuál es la razón de cambio instantánea del número de terremotos con respecto al tiempo cuando t = 3? 3. Identifica información relacionada con las lluvias o con los sismos y elabora un breve reporte donde que integre los siguientes elementos: a) Variables. b) Frecuencia de ocurrencia. c) En al menos 5 renglones, incluye una conclusión respecto a su relación con el teorema fundamental del cálculo, con las derivadas o antiderivadas

Explore how to solve a problem involving the growth rate of rainfall and earthquake occurrences in a Pacific city. This problem covers integrals, derivatives, and the Fundamental Theorem of Calculus, applying them to find rainfall totals and rate of change in earthquake numbers. Suitable for advanced high school and college students.

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