Lee y analiza el siguiente planteamiento:

En una ciudad cercana al Pacífico, la tasa de crecimiento de la cantidad de lluvias por año es:

f′(t)=e^3t-8t, donde t está dada en años.

Además, el número de sismos moderados en esa ciudad está dado por:

(t^3/3+2)(t-5) con t en años.

2. Responde el siguiente cuestionamiento:

a) ¿Cuántas lluvias habrá entre  t=3 y t=7 ?
b) ¿Cuál es la razón de cambio instantánea del número de terremotos con respecto al tiempo cuando t = 3?  

3. Identifica información relacionada con las lluvias o con los sismos y elabora un breve reporte donde que integre los siguientes elementos:

a) Variables.
b) Frecuencia de ocurrencia.
c) En al menos 5 renglones, incluye una conclusión respecto a su relación con el teorema fundamental del cálculo, con las derivadas o antiderivadas

### 1. **Análisis del planteamiento**:

El planteamiento nos da dos funciones que modelan fenómenos naturales en una ciudad cercana al Pacífico:

1. **Tasa de crecimiento de lluvias por año**: \( f'(t) = e^{3t} - 8t \), con \( t \) en años.
   - Esta es la derivada de la cantidad de lluvias con respecto al tiempo, es decir, representa cómo está cambiando el volumen de lluvias año con año.

2. **Número de sismos moderados por año**: \( s(t) = \left( \frac{t^3}{3} + 2 \right)(t - 5) \), donde \( t \) es el tiempo en años.
   - Esta función representa el número de sismos moderados que ocurren en la ciudad.

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### 2. **Solución a los cuestionamientos**:

#### a) ¿Cuántas lluvias habrá entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \)?

Para obtener la cantidad de lluvias entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \), necesitamos calcular la **integral de la tasa de crecimiento** de lluvias en ese intervalo, ya que la integral de la derivada \( f'(t) \) nos da la función original, es decir, la cantidad total de lluvias:

\[
\text{Lluvias entre } t = 3 \text{ y } t = 7 = \int_3^7 \left( e^{3t} - 8t \right) \, dt
\]

Calculemos esta integral:

\[
\int (e^{3t} - 8t) \, dt = \frac{e^{3t}}{3} - 4t^2 + C
\]

Ahora evaluamos en los límites \( t = 7 \) y \( t = 3 \):

\[
\left[ \frac{e^{3t}}{3} - 4t^2 \right]_3^7 = \left( \frac{e^{21}}{3} - 4(49) \right) - \left( \frac{e^9}{3} - 4(9) \right)
\]

Esta expresión nos da la cantidad de lluvias acumuladas entre esos dos años. La solución numérica precisa se puede obtener usando una calculadora o software, pero el concepto clave es que esta integral nos da la acumulación de lluvias.

#### b) ¿Cuál es la razón de cambio instantánea del número de terremotos con respecto al tiempo cuando \( t = 3 \)?

La **razón de cambio instantánea** se obtiene derivando la función del número de terremotos \( s(t) \) con respecto al tiempo \( t \), y luego evaluando en \( t = 3 \).

Primero derivamos \( s(t) \):

\[
s(t) = \left( \frac{t^3}{3} + 2 \right)(t - 5)
\]

Aplicamos la regla del producto:

\[
s'(t) = \left( \frac{t^3}{3} + 2 \right)'(t - 5) + \left( \frac{t^3}{3} + 2 \right)(t - 5)'
\]
\[
s'(t) = t^2(t - 5) + \left( \frac{t^3}{3} + 2 \right)
\]

Ahora, evaluamos \( s'(t) \) en \( t = 3 \):

\[
s'(3) = 3^2(3 - 5) + \left( \frac{3^3}{3} + 2 \right)
\]
\[
s'(3) = 9(-2) + \left( \frac{27}{3} + 2 \right) = -18 + (9 + 2) = -18 + 11 = -7
\]

Por lo tanto, la razón de cambio instantánea del número de terremotos cuando \( t = 3 \) es \( -7 \). Esto significa que el número de sismos está disminuyendo a una tasa de 7 terremotos por año en ese momento.

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### 3. **Reporte sobre lluvias y sismos**

#### a) **Variables**:
- **Lluvias**: La tasa de crecimiento de lluvias está modelada por la función derivada \( f'(t) = e^{3t} - 8t \), que depende del tiempo \( t \) en años.
- **Sismos**: El número de sismos moderados está dado por la función \( s(t) = \left( \frac{t^3}{3} + 2 \right)(t - 5) \).

#### b) **Frecuencia de ocurrencia**:
- La cantidad de lluvias varía de manera exponencial y lineal con el tiempo, con una tasa de crecimiento que cambia a medida que pasa el tiempo.
- Los sismos tienen un comportamiento cúbico y cuadrático en términos de ocurrencia, y su frecuencia cambia a lo largo del tiempo.

#### c) **Conclusión**:

La relación entre lluvias y sismos puede estudiarse usando el **Teorema Fundamental del Cálculo**, que establece que la integral de una derivada, como la tasa de crecimiento de lluvias \( f'(t) \), nos da la cantidad acumulada de lluvias. Para calcular la cantidad de lluvias en un intervalo, integramos la tasa de crecimiento, como se hizo en la pregunta (a).

Por otro lado, la derivada del número de sismos, como la que se calculó en la pregunta (b), nos da la **razón de cambio instantánea**, que nos indica si los sismos están aumentando o disminuyendo en un momento dado. Las **antiderivadas** y **derivadas** juegan un papel crucial en la comprensión de cómo cambian los fenómenos naturales con el tiempo y cómo se acumulan o disminuyen sus efectos.

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¿Te gustaría detalles adicionales o aclarar algún paso? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se podría calcular la cantidad total de lluvias acumuladas durante un lapso mayor de tiempo?
2. ¿Qué interpretaciones físicas se pueden obtener de la derivada negativa de los sismos en \( t = 3 \)?
3. ¿Cómo afectaría un crecimiento exponencial de lluvias en el largo plazo a la infraestructura de la ciudad?
4. ¿Qué sucede con el número de sismos conforme \( t \) tiende a valores muy grandes o muy pequeños?
5. ¿Podría un modelo similar predecir otros eventos naturales, como tormentas o huracanes?

**Tip**: Siempre que veas una derivada, piensa en el comportamiento instantáneo; la integral, en cambio, muestra la acumulación de ese comportamiento.

Lee y analiza el siguiente planteamiento: En una ciudad cercana al Pacífico, la tasa de crecimiento de la cantidad de lluvias por año es: f′(t)=e^3t-8t, donde t está dada en años. Además, el número de sismos moderados en esa ciudad está dado por: (t^3/3+2)(t-5) con t en años. Responde el siguiente cuestionamiento: a) ¿Cuántas lluvias habrá entre t=3 y t=7 ? b) ¿Cuál es la razón de cambio instantánea del número de terremotos con respecto al tiempo cuando t = 3? Identifica información relacionada con las lluvias o con los sismos y elabora un breve reporte donde que integre los siguientes elementos: a) Variables. b) Frecuencia de ocurrencia. c) En al menos 5 renglones, incluye una conclusión respecto a su relación con el teorema fundamental del cálculo, con las derivadas o antiderivadas.

Explore how to calculate the total rainfall between t=3 and t=7 using integral calculus and determine the instantaneous rate of change in the number of earthquakes at t=3. This problem applies the Fundamental Theorem of Calculus and involves exponential and polynomial functions. Ideal for college-level calculus students.

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