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He subido los siguientes archivos de imagen para que los uses: 
Que este punto de selección múltiple sea, pero super bien argumentada en la cual la opción correcta es la correcta demostrándolo y por qué las demás opciones no, esto último bien completado y resumido sin dejar que sea argumentado

Voy a analizar las preguntas 9 y 10 con base en las imágenes y proporcionar una explicación completa de la respuesta correcta en cada caso.

### **Pregunta 9**:
El enunciado pide determinar en qué puntos de la gráfica la función es derivable. Para que una función sea derivable en un punto, deben cumplirse tres condiciones:
1. **Debe existir el límite en ese punto.**
2. **Debe ser continua en ese punto.**
3. **La curva debe ser "suave"**, es decir, no debe tener "picos" o puntos angulosos en ese lugar.

Al observar la gráfica en la pregunta 9:

- En \(m\), parece haber un "pico", lo que rompe la condición de suavidad, por lo que **no es derivable en \(m\)**.
- En \(n\), la curva es continua, no tiene huecos ni picos, por lo que **sí es derivable en \(n\)**.
- En \(p\), parece haber otro "pico", lo que también hace que **no sea derivable en \(p\)**.

La opción correcta es:
- **A: solo es derivable en \(n\).**

**Explicación de las demás opciones**:
- **B: "No es derivable en \(m\) y \(n\)"** es incorrecta porque ya hemos visto que la función **sí es derivable en \(n\)**.
- **C: "Solo es derivable en \(m\)"** es incorrecta porque hay un pico en \(m\), lo que hace que **no sea derivable en ese punto**.
- **D: "Es derivable en \(m\) y \(n\)"** es incorrecta porque **no es derivable en \(m\)**, solo en \(n\).

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### **Pregunta 10**:
La pregunta solicita determinar si la función \(f(x) = \frac{1}{x^2 - x - 6}\) es derivable en los puntos \(x = -2\) y \(x = 3\).

Primero, necesitamos factorizar el denominador para identificar posibles puntos donde la función pueda no ser continua, ya que la derivabilidad requiere continuidad.

\[
x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
\]

Por lo tanto, \(f(x)\) tiene **asíntotas verticales** en los puntos \(x = -2\) y \(x = 3\), ya que al evaluar estos valores, el denominador se hace cero y la función tiende a infinito. Esto implica que **no existe el límite en esos puntos** y, por lo tanto, **la función no es derivable en \(x = -2\) ni en \(x = 3\)**.

La opción correcta es:
- **B: No, porque no existe el límite en esos puntos.**

**Explicación de las demás opciones**:
- **A: "Sí, porque la función es continua en cualquier punto"** es incorrecta, porque la función **no es continua** en \(x = -2\) y \(x = 3\) debido a las asíntotas verticales.
- **C: "Sí, porque los valores de \(f(-2)\) y \(f(3)\) están definidos"** es incorrecta porque, en realidad, la función **no está definida** en estos puntos; no existen valores para \(f(-2)\) y \(f(3)\).
- **D: "No, porque la función tiene picos en esos puntos"** es incorrecta porque el problema no es la existencia de picos, sino la presencia de **asíntotas verticales**.

---

¿Te gustaría más detalles sobre alguna de las respuestas o aclaraciones? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para expandir la información:

1. ¿Qué ocurre cuando una función tiene una discontinuidad removible en un punto? ¿Afecta a la derivabilidad?
2. ¿Cómo se relacionan las asíntotas verticales con la continuidad de una función?
3. ¿Qué propiedades son necesarias para que una función sea derivable en un intervalo cerrado?
4. ¿Por qué un "pico" o vértice en una curva provoca la no derivabilidad?
5. ¿Cómo puedes determinar la derivabilidad de una función mediante el gráfico sin calcular la derivada?

**Tip**: Cuando estudies derivabilidad, recuerda que si una función tiene un salto, hueco o una asíntota vertical, no será derivable en ese punto, incluso si puede parecer continua en otras partes.

Elige la opción correcta de selección múltiple y justifica por qué es correcta, demostrando y explicando por qué las demás opciones no lo son.

Understand how to determine whether a function is derivable at specific points, such as x = -2 and x = 3, with the application of limits, continuity, and the identification of asymptotes. Step-by-step explanations provided for advanced high school students.

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