Racionalice el denominador.  Escriba su respuesta completamente simplificada en términos de raices

i)fracción numerador x entre denominador raíz cuadrada de 5 fin fracción espacio igual espacioRespuesta



ii) fracción numerador 5 entre denominador raíz cúbica de y fin fracción espacio igual espacioRespuesta



iii)fracción numerador 1 entre denominador 1 más raíz cuadrada de 10 fin fracción espacio igual espacio

Vamos a racionalizar el denominador de cada una de las fracciones dadas y simplificar la respuesta.

### i) \(\frac{x}{\sqrt{5}}\)
Para racionalizar el denominador, multiplicamos el numerador y el denominador por \(\sqrt{5}\):

\[
\frac{x}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{x \cdot \sqrt{5}}{5}
\]

**Respuesta:** \(\frac{x \sqrt{5}}{5}\)

---

### ii) \(\frac{5}{\sqrt[3]{y}}\)
Para racionalizar el denominador en este caso, multiplicamos el numerador y el denominador por \(\sqrt[3]{y^2}\) (que es el término necesario para convertir el denominador en \(y\)):

\[
\frac{5}{\sqrt[3]{y}} \cdot \frac{\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[3]{y^2}} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{y^2}}{y}
\]

**Respuesta:** \(\frac{5 \sqrt[3]{y^2}}{y}\)

---

### iii) \(\frac{1}{1 + \sqrt{10}}\)
Para racionalizar el denominador, multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador \(1 - \sqrt{10}\):

\[
\frac{1}{1 + \sqrt{10}} \cdot \frac{1 - \sqrt{10}}{1 - \sqrt{10}} = \frac{1 - \sqrt{10}}{(1 + \sqrt{10})(1 - \sqrt{10})}
\]

El denominador es una diferencia de cuadrados:

\[
(1 + \sqrt{10})(1 - \sqrt{10}) = 1^2 - (\sqrt{10})^2 = 1 - 10 = -9
\]

Por lo tanto:

\[
\frac{1 - \sqrt{10}}{-9} = -\frac{1 - \sqrt{10}}{9}
\]

**Respuesta:** \(-\frac{1 - \sqrt{10}}{9}\)

---

¿Deseas alguna explicación adicional o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se racionaliza el denominador en una fracción con radicales en ambos términos?
2. ¿Qué es el conjugado de un binomio y cómo se utiliza en la racionalización?
3. ¿Cómo se simplifican raíces cuadradas en fracciones?
4. ¿Qué sucede si hay una raíz en el numerador y el denominador de una fracción?
5. ¿Cómo se realiza la racionalización en expresiones con raíces cúbicas?
6. ¿Existen métodos alternativos para racionalizar denominadores?
7. ¿Cómo afecta la racionalización a la forma de la expresión original?
8. ¿Qué otros tipos de expresiones requieren la racionalización del denominador?

**Tip:** Al racionalizar un denominador, siempre busca simplificar la expresión final al máximo para evitar pasos innecesarios en cálculos futuros.

Aprende cómo racionalizar denominadores con raíces en fracciones matemáticas. Incluye ejemplos detallados con soluciones paso a paso para fracciones con raíces cuadradas y cúbicas. Ideal para estudiantes de secundaria.

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