La empresa "La Espada Mágica" produce tres modelos de espadas: Espadas de Plata, espadas de Oro y espadas de Mithril. Para elaborar una espada de Mithril se necesita el doble del tiempo que se emplea para elaborar una de Oro. La demanda indica que la producción de espadas de Plata debe ser el triple de la producción de espadas de Mithril. Los costos de adquisición de material por cada tipo de espada son: 100$, 50$ y 30$ para espadas de Mithril, Oro y Plata respectivamente. La empresa dispone de 2900$ exactos para invertir. ¿Cuántas espadas de cada tipo se deben producir para satisfacer los requerimientos planteados? resuelvelo como acuaciones

Vamos a definir las variables que representan la cantidad de espadas que se deben producir de cada tipo:

- $ x $: Número de espadas de **Mithril**.
- $ y $: Número de espadas de **Oro**.
- $ z $: Número de espadas de **Plata**.

### Condiciones del problema:

1. **Tiempo de producción**: El tiempo para hacer una espada de Mithril es el doble del tiempo que toma hacer una espada de Oro. No tenemos un dato concreto del tiempo total, así que esta relación no genera una ecuación directamente.
   
2. **Relación de producción**: La demanda exige que la producción de espadas de Plata sea tres veces la de espadas de Mithril.
   \[
   z = 3x
   \]
   
3. **Presupuesto disponible**: El costo total de los materiales no debe exceder los 2900 dólares. Los costos por cada espada son 100$ para espadas de Mithril, 50$ para espadas de Oro y 30$ para espadas de Plata. Así que el costo total debe cumplir la ecuación:
   \[
   100x + 50y + 30z = 2900
   \]

Ahora, vamos a sustituir $ z = 3x $ en la ecuación de costos para eliminar una variable:

\[
100x + 50y + 30(3x) = 2900
\]
\[
100x + 50y + 90x = 2900
\]
\[
190x + 50y = 2900
\]

### Ecuaciones finales:

1. $ z = 3x $
2. $ 190x + 50y = 2900 $

### Resolviendo el sistema:

Vamos a despejar $ y $ en términos de $ x $ usando la segunda ecuación:
\[
50y = 2900 - 190x
\]
\[
y = \frac{2900 - 190x}{50}
\]
\[
y = 58 - 3.8x
\]

Para que $ y $ sea un número entero, $ x $ debe ser un valor tal que $ 3.8x $ sea un número entero. Esto significa que $ x $ debe ser múltiplo de 5.

### Probamos valores de $ x $:

1. Si $ x = 5 $:
   \[
   y = 58 - 3.8(5) = 58 - 19 = 39
   \]
   \[
   z = 3(5) = 15
   \]

Entonces, si producimos 5 espadas de Mithril, 39 espadas de Oro y 15 espadas de Plata, se cumple la relación y los costos:

\[
100(5) + 50(39) + 30(15) = 500 + 1950 + 450 = 2900
\]

### Respuesta final:
Se deben producir:
- 5 espadas de **Mithril**,
- 39 espadas de **Oro**,
- 15 espadas de **Plata**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué pasaría si el presupuesto aumentara a 3200$?
2. ¿Qué ocurre si la relación de tiempo de producción entre espadas de Mithril y Oro cambia?
3. ¿Cómo afectaría al modelo si el costo de las espadas de Plata aumenta a 40$?
4. ¿Cuántas espadas se producirían si el costo de las espadas de Oro se reduce a 40$?
5. ¿Cómo cambiaría la producción si la demanda exige el doble de espadas de Oro que de Plata?

**Tip**: Al plantear un problema de optimización con restricciones, es útil expresar todas las variables en función de una sola si es posible. Esto simplifica el sistema de ecuaciones.

La empresa 'La Espada Mágica' produce tres modelos de espadas: Espadas de Plata, espadas de Oro y espadas de Mithril. Para elaborar una espada de Mithril se necesita el doble del tiempo que se emplea para elaborar una de Oro. La demanda indica que la producción de espadas de Plata debe ser el triple de la producción de espadas de Mithril. Los costos de adquisición de material por cada tipo de espada son: 100$, 50$ y 30$ para espadas de Mithril, Oro y Plata respectivamente. La empresa dispone de 2900$ exactos para invertir. ¿Cuántas espadas de cada tipo se deben producir para satisfacer los requerimientos planteados?

Resuelve el problema de producción óptima de espadas en 'La Espada Mágica' utilizando sistemas de ecuaciones lineales. Aprende cómo calcular la cantidad de espadas de Mithril, Oro y Plata que deben producirse con un presupuesto de 2900$. Adecuado para estudiantes de grados 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation