PROBLEMA DE TAREA # 5. RESOLVER PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN POR
EL MÉTODO GRÁFICO.

Una empresa mueblera tiene una disponibilidad de madera y horas de mano de
obra disponibles y quiere saber qué cantidad de sillas y mesas le conviene
producir con los recursos disponibles
Dispone de 300 pies cúbicos de madera y de 110 horas hombre para trabajar.
Para producir una mesa requiere de 30 pies cúbicos de madera y para producir
una silla requiere 20 pies cúbicos de madera.
Para producir una mesa requiere 5 horas de trabajo y para producir una silla
requiere de 10 horas de trabajo.
La utilidad de una mesa es de 6 dólares y la utilidad de una silla es de 8 dólares.
¿Cuántas mesas y cuántas sillas debe producir para maximizar sus utilidades?

Para resolver este problema de maximización usando el **método gráfico**, seguimos estos pasos:

### 1. Definición de las variables:
- \( x_1 \): Número de mesas a producir.
- \( x_2 \): Número de sillas a producir.

### 2. Función objetivo:
La empresa quiere maximizar sus utilidades. Por lo tanto, la función objetivo es:

\[
Z = 6x_1 + 8x_2
\]

Donde:
- \( 6 \) es la utilidad por mesa.
- \( 8 \) es la utilidad por silla.

### 3. Restricciones:
Las restricciones se basan en la disponibilidad de recursos (madera y horas de trabajo).

**Restricción de madera:**
- Cada mesa requiere 30 pies cúbicos de madera.
- Cada silla requiere 20 pies cúbicos de madera.
- El total de madera disponible es 300 pies cúbicos.

\[
30x_1 + 20x_2 \leq 300
\]

**Restricción de horas de trabajo:**
- Cada mesa requiere 5 horas de trabajo.
- Cada silla requiere 10 horas de trabajo.
- El total de horas disponibles es 110 horas.

\[
5x_1 + 10x_2 \leq 110
\]

**Restricciones de no negatividad:**
\[
x_1 \geq 0 \quad \text{y} \quad x_2 \geq 0
\]

### 4. Resolución gráfica:

1. **Dibujar las restricciones en el plano cartesiano:**
   - Para la restricción de madera \( 30x_1 + 20x_2 \leq 300 \), despejamos \( x_2 \):

   \[
   x_2 = \frac{300 - 30x_1}{20}
   \]

   - Para la restricción de horas de trabajo \( 5x_1 + 10x_2 \leq 110 \), despejamos \( x_2 \):

   \[
   x_2 = \frac{110 - 5x_1}{10}
   \]

2. **Determinar los puntos de intersección y vértices del área factible**:
   - Resolver los sistemas de ecuaciones para encontrar los puntos donde las restricciones se cruzan.

3. **Evaluar la función objetivo en los vértices del área factible**:
   - Sustituir los puntos de intersección en la función objetivo \( Z = 6x_1 + 8x_2 \) para encontrar el valor de \( Z \) en cada vértice y determinar el punto que maximiza la utilidad.

### 5. Solución gráfica:

Ahora que hemos planteado el problema, puedes proceder a graficar las restricciones, encontrar los vértices del área factible y calcular la utilidad en cada vértice para determinar el número óptimo de mesas \(x_1\) y sillas \(x_2\).

¿Te gustaría que te ayudara a graficar las restricciones y encontrar los puntos clave?

---

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Qué pasaría si la disponibilidad de madera aumentara a 400 pies cúbicos?
2. ¿Cómo se vería afectada la solución si la utilidad por silla aumentara a 10 dólares?
3. ¿Qué sucede si el tiempo de trabajo disponible se reduce a 90 horas?
4. ¿Cómo cambiaría la solución si una mesa requiere 40 pies cúbicos de madera en lugar de 30?
5. ¿Qué impacto tendría si la empresa decide producir al menos 2 mesas y 3 sillas?

### Tip:
Cuando traces el gráfico, asegúrate de identificar claramente el área factible, que es donde se cumplen todas las restricciones. ¡Eso facilita la búsqueda del máximo!

Una empresa mueblera tiene una disponibilidad de madera y horas de mano de obra disponibles y quiere saber qué cantidad de sillas y mesas le conviene producir con los recursos disponibles. Dispone de 300 pies cúbicos de madera y de 110 horas hombre para trabajar. Para producir una mesa requiere de 30 pies cúbicos de madera y para producir una silla requiere 20 pies cúbicos de madera. Para producir una mesa requiere 5 horas de trabajo y para producir una silla requiere de 10 horas de trabajo. La utilidad de una mesa es de 6 dólares y la utilidad de una silla es de 8 dólares. ¿Cuántas mesas y cuántas sillas debe producir para maximizar sus utilidades?

Resuelve un problema de maximización utilizando el método gráfico. Descubre cuántas mesas y sillas debe producir una empresa mueblera con 300 pies cúbicos de madera y 110 horas de trabajo disponibles para maximizar sus utilidades. Este problema abarca conceptos de programación lineal y maximización de funciones, adecuado para estudiantes de grado 10-12.

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