Determinar si la función es inyectiva. g(x)={ x²+2 si -2≤x<0 -x+6/3 si 0≤x≤6 En caso positivo, obtener: La regla de correspondencia de su función inversa El dominio y rango de la función inversa 

### Determinación de la Inyectividad de la Función \( g(x) \)

Dada la función:

\[
g(x) =
\begin{cases} 
x^2 + 2 & \text{si } -2 \leq x < 0, \\
-\frac{x}{3} + 2 & \text{si } 0 \leq x \leq 6.
\end{cases}
\]

Debemos verificar si la función es inyectiva, es decir, si para \( g(x_1) = g(x_2) \) se sigue que \( x_1 = x_2 \).

#### Análisis por Tramos

1. **Tramo 1:** \( g(x) = x^2 + 2 \) para \( -2 \leq x < 0 \)

   Esta es una función cuadrática con una parábola que abre hacia arriba. Sin embargo, en el intervalo dado \( -2 \leq x < 0 \), la función es estrictamente creciente, lo que implica que es inyectiva en este tramo.

2. **Tramo 2:** \( g(x) = -\frac{x}{3} + 2 \) para \( 0 \leq x \leq 6 \)

   Esta es una función lineal con pendiente negativa. Dado que es una función lineal y la pendiente no es cero, esta función es inyectiva en este intervalo.

#### Verificación en el Punto de Unión \( x = 0 \)

Verificamos si los valores de la función en el punto de unión son iguales:

- \( g(0^-) = 0^2 + 2 = 2 \)
- \( g(0^+) = -\frac{0}{3} + 2 = 2 \)

Como los valores son iguales y no hay repetición de valores, no se viola la inyectividad en el punto de unión.

### Conclusión: 

La función \( g(x) \) es inyectiva en su dominio completo

Learn about the injectivity of the piecewise function g(x) defined by g(x) = { x² + 2 if -2 ≤ x < 0, -x/3 + 2 if 0 ≤ x ≤ 6 }. Explore its injectivity across its domain, including the determination of its inverse function and the domain and range of the inverse.

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