Cercado. Una empresa dispone de $9.000 para cercar una porción rectangular del terreno
adyacente a un rio y el rio lo usara como un lado del área cercada. El costo de la cerca
paralela al rio es de $15 por pie instalado y el costo para los dos lados restantes es de $9
por pie instalado. Encuentre las dimensiones del área máxima cercada.

Este problema es un clásico de optimización en el cálculo, en el que buscamos maximizar el área de un terreno rectangular que está adyacente a un río, con un presupuesto limitado para cercarlo.

### Definiciones:
- Sea **$x$** la longitud de la cerca paralela al río (un solo lado).
- Sea **$y$** la longitud de cada uno de los dos lados perpendiculares al río.

El área que queremos maximizar es el área del rectángulo $A = x \cdot y$.

### Costo total de la cerca:
- El costo de la cerca paralela al río es de $15 por pie, por lo que el costo para esta parte es $15x$.
- El costo de los dos lados perpendiculares al río es de $9 por pie, por lo que el costo total para estos dos lados es $9(2y) = 18y$.

La restricción de presupuesto es que el costo total no debe exceder los $9.000:
\[
15x + 18y = 9000
\]
De esta ecuación, podemos despejar $x$ en función de $y$:
\[
x = \frac{9000 - 18y}{15}
\]
\[
x = 600 - 1.2y
\]

### Función a maximizar:
El área $A$ es $x \cdot y$, pero ahora sustituimos $x$ con la expresión que encontramos anteriormente:
\[
A(y) = (600 - 1.2y) \cdot y
\]
\[
A(y) = 600y - 1.2y^2
\]
Para encontrar el valor de $y$ que maximiza el área, derivamos $A(y)$ respecto a $y$ y la igualamos a 0.

### Derivada de $A(y)$:
\[
\frac{dA}{dy} = 600 - 2.4y
\]
Igualando a cero:
\[
600 - 2.4y = 0
\]
\[
y = \frac{600}{2.4} = 250
\]

### Encontrar $x$:
Sustituimos $y = 250$ en la ecuación de $x$:
\[
x = 600 - 1.2(250) = 600 - 300 = 300
\]

### Respuesta:
Las dimensiones que maximizan el área son:
- **$x = 300$ pies** (largo paralelo al río)
- **$y = 250$ pies** (los dos lados perpendiculares al río).

El área máxima cercada es $A = 300 \times 250 = 75,000$ pies cuadrados.

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna duda?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se obtiene la derivada de una función cuadrática?
2. ¿Qué otras restricciones podrían añadirse a problemas de optimización como este?
3. ¿Cómo influye el presupuesto en la forma óptima del terreno?
4. ¿Qué técnicas matemáticas se usan para resolver problemas de optimización?
5. ¿Cómo se derivan funciones más complejas que involucran varios factores?

### Tip:
En problemas de optimización, siempre es importante escribir la función objetivo (la que se quiere maximizar o minimizar) y la restricción antes de hacer derivadas.

Cercado. Una empresa dispone de $9.000 para cercar una porción rectangular del terreno adyacente a un río y el río lo usará como un lado del área cercada. El costo de la cerca paralela al río es de $15 por pie instalado y el costo para los dos lados restantes es de $9 por pie instalado. Encuentre las dimensiones del área máxima cercada.

Aprende a resolver un problema de optimización para encontrar las dimensiones de un área rectangular máxima cercada con un presupuesto limitado de $9,000. Este problema involucra cálculo, derivadas y la maximización de funciones cuadráticas, adecuado para estudiantes de nivel secundario avanzado (Grados 10-12).

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