Із проміжку [−1; 1] навмання вибираються 2 дійсних числа p i q. Яка ймовірність того, що рівняння x^2+px+q=0 має дійсні додатні корені?

Розглянемо рівняння:

\[
x^2 + px + q = 0
\]

Для того щоб рівняння мало дійсні корені, необхідно, щоб дискримінант був невід'ємним:

\[
D = p^2 - 4q \geq 0
\]

Оскільки нас цікавлять лише **додатні** дійсні корені, потрібно виконати додаткові умови:

1. **Корені мають бути додатними**, що за теоремою Вієта означає:
   - Сума коренів \( -p \) має бути додатною: \( -p > 0 \), тобто \( p < 0 \).
   - Добуток коренів \( q \) також має бути додатним: \( q > 0 \).

Таким чином, щоб рівняння мало додатні корені, мають виконуватися такі умови:
- \( p < 0 \),
- \( q > 0 \),
- \( p^2 \geq 4q \).

### Геометричний підхід
Розглянемо ці умови на площині \( pq \) з обмеженням \( p \in [-1; 1] \) та \( q \in [-1; 1] \).

- Перша умова \( p < 0 \) означає, що ми розглядаємо лише ліву частину проміжку \( p \in [-1; 0] \).
- Друга умова \( q > 0 \) обмежує \( q \) до відрізка \( q \in [0; 1] \).
- Третя умова \( p^2 \geq 4q \) описує параболу на площині \( pq \). Вона відкривається вгору з вершиною в точці \( p = 0, q = 0 \).

### Область інтегрування
Необхідно знайти площу області, яка задовольняє всім трьом умовам:
1. \( p \in [-1; 0] \),
2. \( q \in [0; 1] \),
3. \( q \leq \frac{p^2}{4} \).

Знайдемо площу цієї області:

- Для кожного значення \( p \in [-1; 0] \), \( q \) змінюється від 0 до \( \frac{p^2}{4} \).
- Площа буде обчислена інтегралом:

\[
S = \int_{-1}^{0} \frac{p^2}{4} \, dp
\]

Обчислимо цей інтеграл:

\[
S = \int_{-1}^{0} \frac{p^2}{4} \, dp = \frac{1}{4} \int_{-1}^{0} p^2 \, dp = \frac{1}{4} \left[ \frac{p^3}{3} \right]_{-1}^{0}
\]

\[
S = \frac{1}{4} \left( 0 - \frac{(-1)^3}{3} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}
\]

### Імовірність
Загальна площа прямокутника \( [-1; 0] \times [0; 1] \) дорівнює 1 (оскільки його сторони мають довжину 1 і 1). Отже, ймовірність того, що рівняння має додатні дійсні корені, дорівнює:

\[
P = \frac{S}{1} = \frac{1}{12}
\]

### Відповідь:
Імовірність того, що рівняння \( x^2 + px + q = 0 \) має дійсні додатні корені, дорівнює \( \frac{1}{12} \).

---
Чи бажаєте дізнатися більше деталей щодо розрахунку?  
Ось 5 додаткових запитань для розширення:

1. Як зміниться ймовірність, якщо розширити проміжки для \( p \) та \( q \)?
2. Як використовувати дискримінант для аналізу комплексних коренів?
3. Яким чином можна обчислити ймовірність для інших проміжків коренів?
4. Як залежить розв'язок від теореми Вієта для різних типів коренів?
5. Чи є геометричні підходи до розв'язання таких задач завжди ефективними?

**Порада**: Для вивчення подібних задач корисно вивчати методи інтеграції в геометрії та застосовувати їх до ймовірнісних задач.

Explore the probability of a quadratic equation x^2 + px + q = 0 having positive real roots when p and q are randomly chosen from the interval [-1, 1]. Learn about discriminants, Vieta’s Theorem, and geometric probability methods with step-by-step calculations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation