on considère l'équation :2x au carre +px+q =O ,ou p et q sont deux réels donnés comment déterminer p et q pour que -1/2 et 3 soit la solution

Pour déterminer les valeurs de \( p \) et \( q \) afin que les solutions de l'équation \( 2x^2 + px + q = 0 \) soient \( -\frac{1}{2} \) et \( 3 \), on peut utiliser le fait que si \( r_1 \) et \( r_2 \) sont les solutions d'une équation quadratique de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \), alors les relations suivantes sont vraies :

- La somme des racines : \( r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} \)
- Le produit des racines : \( r_1 \times r_2 = \frac{c}{a} \)

Ici, \( r_1 = -\frac{1}{2} \) et \( r_2 = 3 \), et l'équation est \( 2x^2 + px + q = 0 \), donc \( a = 2 \).

### Étape 1 : Calcul de la somme des racines
La somme des racines est :
\[
r_1 + r_2 = -\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2}
\]
D'après la formule \( r_1 + r_2 = -\frac{p}{a} \), on a donc :
\[
\frac{5}{2} = -\frac{p}{2}
\]
En multipliant les deux côtés par 2, on obtient :
\[
p = -5
\]

### Étape 2 : Calcul du produit des racines
Le produit des racines est :
\[
r_1 \times r_2 = -\frac{1}{2} \times 3 = -\frac{3}{2}
\]
D'après la formule \( r_1 \times r_2 = \frac{q}{a} \), on a donc :
\[
-\frac{3}{2} = \frac{q}{2}
\]
En multipliant les deux côtés par 2, on obtient :
\[
q = -3
\]

### Conclusion
Les valeurs de \( p \) et \( q \) sont donc :
- \( p = -5 \)
- \( q = -3 \)

L'équation finale est \( 2x^2 - 5x - 3 = 0 \).

---

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**Astuce :** Lorsque vous connaissez les racines d'une équation quadratique, vous pouvez directement écrire l'équation sous forme factorisée pour vérifier votre travail.

on considère l'équation : 2x au carre +px+q = 0 ,ou p et q sont deux réels donnés comment déterminer p et q pour que -1/2 et 3 soit la solution

Learn how to determine the values of p and q in the quadratic equation 2x^2 + px + q = 0, such that the solutions are -1/2 and 3. This problem explores algebraic concepts, including Vieta's formulas, and is suitable for students in Grades 10-12.

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