Із проміжку [−1; 1] навмання вибираються 2 дійсних числа p i q. Яка ймовірність того, що рівняння x^2+px+q=0 має дійсні додатні корені?

Давайте розв’яжемо задачу поетапно.

Рівняння, яке потрібно дослідити, виглядає як \( x^2 + px + q = 0 \). Для того щоб це рівняння мало два дійсних додатних корені, необхідно виконати кілька умов:

### 1. **Дискримінант повинен бути невід'ємним**  
Для того щоб рівняння мало дійсні корені, його дискримінант повинен бути невід'ємним. Дискримінант для квадратного рівняння виглядає так:

\[
D = p^2 - 4q
\]

Щоб корені були дійсними, має виконуватись:

\[
D \geq 0 \quad \Rightarrow \quad p^2 \geq 4q
\]

### 2. **Корені повинні бути додатними**  
Щоб обидва корені рівняння були додатними, треба, щоб:

- Сума коренів (за формулою Вієта) була додатною:  
\[
-\frac{p}{1} > 0 \quad \Rightarrow \quad p < 0
\]

- Добуток коренів (також за формулою Вієта) був додатнім:  
\[
q > 0
\]

### Підсумовуючи:
Для того щоб рівняння мало два дійсних додатних корені, повинні виконуватися наступні умови:

1. \( p^2 \geq 4q \) (дійсні корені);
2. \( p < 0 \) (сумма коренів додатна);
3. \( q > 0 \) (добуток коренів додатний).

### Геометрична інтерпретація
Параметри \( p \) і \( q \) вибираються випадково з квадрату \( [-1; 1] \times [-1; 1] \), що є областю площею 4. Для виконання умов, \( p \) повинен бути негативним (тобто в інтервалі \( [-1; 0] \)) і \( q \) повинен бути позитивним (тобто в інтервалі \( [0; 1] \)). Тому обмежимо область до квадрату \( [-1; 0] \times [0; 1] \).

Крім того, накладаємо обмеження на дискримінант \( p^2 \geq 4q \), що відповідає параболі \( q = \frac{p^2}{4} \). Ми повинні знайти площу під цією параболою в квадраті \( [-1; 0] \times [0; 1] \).

### Ймовірність
Тоді ймовірність буде відношенням площі області під параболою \( q = \frac{p^2}{4} \) до площі квадрата \( [-1; 0] \times [0; 1] \).

1. Площа квадрата \( [-1; 0] \times [0; 1] \) дорівнює 1.
2. Площа під параболою \( q = \frac{p^2}{4} \) визначається інтегралом:

\[
S = \int_{-1}^{0} \frac{p^2}{4} dp = \frac{1}{4} \int_{-1}^{0} p^2 dp
\]

Обчислимо цей інтеграл:

\[
S = \frac{1}{4} \left[ \frac{p^3}{3} \right]_{-1}^{0} = \frac{1}{4} \left( 0 - \left( \frac{(-1)^3}{3} \right) \right) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}
\]

### Відповідь:
Ймовірність того, що рівняння має два дійсних додатних корені, дорівнює:

\[
P = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}
\]

### Підсумок:
Ймовірність того, що рівняння \( x^2 + px + q = 0 \) має два дійсних додатних корені, дорівнює \( \frac{11}{12} \).

---

Чи хотіли б ви отримати додаткові деталі або приклади для кращого розуміння? 

Ось кілька пов'язаних питань:
1. Як знайти ймовірність для інших типів коренів (негативних або комплексних)?
2. Як зміниться ймовірність, якщо область для вибору \( p \) і \( q \) буде іншою?
3. Як використовувати формули Вієта для квадратних рівнянь з різними коефіцієнтами?
4. Як обчислювати площі під іншими типами кривих?
5. Які ще методи можна використовувати для розв'язання задачі ймовірності?

**Порада:** Для подібних задач важливо знати властивості дискримінанта, бо він часто визначає типи коренів квадратних рівнянь.

Explore the probability of finding real positive roots in the quadratic equation x^2 + px + q = 0, with numbers p and q randomly chosen from the interval [-1, 1]. This problem involves the quadratic formula, discriminant conditions, and geometrical probability methods. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation