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Resuelve este ejercicio y explica como lo hiciste

Vamos a resolver cada inciso del ejercicio utilizando probabilidades. El problema menciona que hay una probabilidad del 50% de que un semáforo esté en verde, es decir, \( P(\text{verde}) = 0.5 \) y \( P(\text{rojo}) = 0.5 \).

### Inciso a) 
**Determina la probabilidad que se detenga por segunda vez en el cuarto, sexto o noveno semáforo.**

Sabemos que la probabilidad de detenerse en cualquier semáforo es 0.5. Queremos encontrar la probabilidad de que el automovilista se detenga por **segunda vez** en un semáforo en particular, específicamente en el cuarto, sexto o noveno.

Para que se detenga por segunda vez en el cuarto semáforo, primero se debe detener una vez en los primeros tres semáforos y no detenerse más hasta el cuarto. La secuencia sería:
- Se detiene en uno de los primeros tres semáforos (una vez).
- No se detiene en los otros dos primeros semáforos.
- Se detiene en el cuarto semáforo.

La probabilidad de que esto ocurra es:
\[
P(\text{se detiene por segunda vez en el 4to}) = \binom{3}{1} \cdot (0.5)^4 = 3 \cdot (0.5)^4 = 3 \cdot 0.0625 = 0.1875
\]

De manera similar, la probabilidad para el sexto y noveno semáforo sería idéntica. Entonces sumamos las tres probabilidades:

Para el cuarto:
\[
P(\text{segunda vez en 4to}) = 0.1875
\]

Para el sexto:
\[
P(\text{segunda vez en 6to}) = 0.1875
\]

Para el noveno:
\[
P(\text{segunda vez en 9no}) = 0.1875
\]

Finalmente, sumamos todas:
\[
P(\text{segunda vez en 4to, 6to o 9no}) = 0.1875 + 0.1875 + 0.1875 = 0.5625
\]

### Inciso b)
**Determina la probabilidad que no se detenga por primera vez en el quinto semáforo.**

Para que no se detenga por **primera vez** en el quinto semáforo, debe haber pasado sin detenerse en los primeros cuatro semáforos. Entonces, necesitamos calcular la probabilidad de no detenerse en los primeros cuatro y luego detenerse en el quinto.

La probabilidad de no detenerse en los primeros cuatro semáforos es:
\[
P(\text{no se detiene en los primeros 4}) = (0.5)^4 = 0.0625
\]

Entonces, la probabilidad de que se detenga por primera vez en el quinto semáforo es:
\[
P(\text{se detiene por primera vez en el 5to}) = 0.0625
\]

### Inciso c)
**Si se toman 10 semáforos en su trayecto. ¿Cuál es la probabilidad de que se detenga en más de 5 de ellos?**

Este problema sigue una distribución binomial. Sabemos que:
- La probabilidad de detenerse en un semáforo es 0.5.
- El número de semáforos es \( n = 10 \).
- Queremos saber la probabilidad de detenerse en más de 5 de los semáforos, es decir, \( P(X > 5) \).

La probabilidad en una distribución binomial se calcula usando:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}
\]
Donde \( p = 0.5 \) y \( n = 10 \). En este caso, debemos sumar las probabilidades para \( X = 6, 7, 8, 9, 10 \).

Sin embargo, como la probabilidad \( p = 0.5 \), podemos usar la simetría de la distribución binomial. Sabemos que la probabilidad de detenerse en más de 5 semáforos es la misma que la probabilidad de detenerse en menos de 5, por lo que podemos restar del total la probabilidad de detenerse en 5 o menos.

Calculamos la probabilidad de detenerse en **5 o menos** semáforos usando la función acumulativa de la binomial. Luego, restamos de 1 para obtener la probabilidad de detenerse en más de 5 semáforos:
\[
P(X > 5) = 1 - P(X \leq 5) 
\]

Evaluamos esto usando tablas de distribución binomial o un cálculo exacto:
\[
P(X > 5) \approx 0.377
\]

### Resumen
- **Inciso a**: La probabilidad de detenerse por segunda vez en el cuarto, sexto o noveno semáforo es \( P = 0.5625 \).
- **Inciso b**: La probabilidad de no detenerse por primera vez en el quinto semáforo es \( P = 0.0625 \).
- **Inciso c**: La probabilidad de detenerse en más de 5 semáforos es aproximadamente \( P = 0.377 \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula la probabilidad de un evento en una distribución binomial?
2. ¿Qué significa la simetría en la distribución binomial cuando \( p = 0.5 \)?
3. ¿Cómo se utiliza la fórmula del binomio para eventos específicos?
4. ¿Qué otros métodos existen para calcular probabilidades acumulativas?
5. ¿Cómo afecta el número total de semáforos a la probabilidad de detenerse?

**Tip**: En problemas de probabilidades con semáforos o eventos repetitivos, usar distribuciones binomiales simplifica mucho los cálculos.

Un automovilista va por la ruta 1 un domingo por la mañana. Cada cierta distancia en un cruce conflictivo hay un semáforo que está en verde el 50% del tiempo, se detiene en otro caso. Determina la probabilidad de detenerse en ciertos semáforos bajo diferentes condiciones.

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