3) Vazamentos de tanques de gasolina subterrâneos em postos de gasolina podem prejudicar o meio ambiente. Estima-se que 15% desses tanques apresentam vazamento.
Examina-se uma amostra de 18 tanques escolhidos ao acaso, independentes entre si. Qual é a probabilidade de pelo menos 3 tanques da amostra apresentarem vazamento?

6) O gerente de um banco deixa sua casa às 8h e 40 min dirigindo-se ao banco para iniciar seu trabalho às 9 h. A duração dessa viagem tem média de 18 min e desvio padrão 5 min. Considerando que o tempo de duração da viagem tem distribuição normal, determine: a) a probabilidade do gerente chegar atrasado ao banco; b) a probabilidade do gerente chegar pelo menos 5 min antes do início de seu trabalho.



**Questão 3: Probabilidade de pelo menos 3 tanques com vazamento**

Temos as seguintes informações:
- A probabilidade de um tanque ter vazamento \( p = 0.15 \),
- O número de tanques na amostra \( n = 18 \),
- Queremos saber a probabilidade de pelo menos 3 tanques apresentarem vazamento, ou seja, \( P(X \geq 3) \), onde \( X \) segue uma distribuição binomial com \( n = 18 \) e \( p = 0.15 \).

A fórmula da distribuição binomial é:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}
\]
Porém, para calcular \( P(X \geq 3) \), podemos usar a relação:
\[
P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3)
\]
Isso equivale a:
\[
P(X \geq 3) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]
\]

Vamos calcular \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \) e \( P(X = 2) \), e depois subtrair da probabilidade total (1).

**Questão 6: Tempo de chegada do gerente ao banco**

Temos uma distribuição normal para o tempo de viagem com:
- Média \( \mu = 18 \) minutos,
- Desvio padrão \( \sigma = 5 \) minutos.

O gerente sai às 8h40 e precisa chegar ao banco até as 9h00, ou seja, ele tem 20 minutos disponíveis para a viagem.

### a) Probabilidade de chegar atrasado
Queremos saber a probabilidade de o tempo de viagem ser superior a 20 minutos, ou seja, \( P(X > 20) \), onde \( X \sim N(18, 5^2) \).

Para calcular essa probabilidade, padronizamos a variável \( X \) para a distribuição normal padrão \( Z \) usando:
\[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
\]
Logo:
\[
Z = \frac{20 - 18}{5} = 0.4
\]
Agora precisamos calcular \( P(Z > 0.4) \), que é a probabilidade de \( Z \) ser maior que 0.4.

### b) Probabilidade de chegar pelo menos 5 minutos antes
Agora, queremos saber a probabilidade de o tempo de viagem ser inferior a 15 minutos, ou seja, \( P(X < 15) \).

Novamente, padronizamos:
\[
Z = \frac{15 - 18}{5} = -0.6
\]
Agora precisamos calcular \( P(Z < -0.6) \), que é a probabilidade de \( Z \) ser menor que -0.6.

Vamos calcular esses valores.

Aqui estão as respostas para as duas questões:

**Questão 3:**
A probabilidade de pelo menos 3 tanques de gasolina apresentarem vazamento é aproximadamente **52,03%**.

**Questão 6:**
- a) A probabilidade do gerente chegar atrasado (tempo de viagem superior a 20 minutos) é de aproximadamente **34,46%**.
- b) A probabilidade do gerente chegar pelo menos 5 minutos antes (tempo de viagem inferior a 15 minutos) é de aproximadamente **27,43%**.

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?

Aqui estão 5 questões relacionadas para expandir seu entendimento:
1. Como a fórmula da binomial muda para amostras com tamanhos diferentes?
2. O que aconteceria com a probabilidade se o percentual de tanques com vazamento aumentasse?
3. Como a variância influencia os resultados da distribuição normal no exemplo do gerente?
4. Se o gerente tivesse um desvio padrão maior, como isso afetaria as probabilidades calculadas?
5. Como o cálculo da binomial seria diferente para eventos dependentes?

**Dica**: Quando os eventos são independentes, as probabilidades de sucesso se multiplicam, o que simplifica o cálculo de probabilidades combinadas.

3) Vazamentos de tanques de gasolina subterrâneos em postos de gasolina podem prejudicar o meio ambiente. Estima-se que 15% desses tanques apresentam vazamento. Examina-se uma amostra de 18 tanques escolhidos ao acaso, independentes entre si. Qual é a probabilidade de pelo menos 3 tanques da amostra apresentarem vazamento?

6) O gerente de um banco deixa sua casa às 8h e 40 min dirigindo-se ao banco para iniciar seu trabalho às 9 h. A duração dessa viagem tem média de 18 min e desvio padrão 5 min. Considerando que o tempo de duração da viagem tem distribuição normal, determine: a) a probabilidade do gerente chegar atrasado ao banco; b) a probabilidade do gerente chegar pelo menos 5 min antes do início de seu trabalho.

Calculate the probability of at least 3 out of 18 gasoline tanks leaking and the probability of a bank manager arriving on time, given normal and binomial distributions. Includes key concepts like binomial probability and normal distribution calculations. Suitable for Grades 10-12.

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