Para ir a clase, un estudiante utiliza su coche el 70 % de los días, mientras que va en autobús el 
resto de los días. Cuando utiliza su coche, llega tarde el 20 % de los días, mientras que si va en 
autobús llega a tiempo el 10 % de los días. Elegido un día al azar: a) Calcular la probabilidad de que 
el estudiante llegue tarde. b) Sabiendo que ha llegado a tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que 
haya venido en autobús? c) Sabiendo que ha llegado tarde ¿cuál es la probabilidad de que haya 
venido en coche?

Para resolver este problema, utilizaremos el **Teorema de la Probabilidad Total** y el **Teorema de Bayes**.

**Definamos los eventos:**
- \( A_1 \): El estudiante va en coche. \( P(A_1) = 0.70 \)
- \( A_2 \): El estudiante va en autobús. \( P(A_2) = 0.30 \)
- \( B \): El estudiante llega tarde.
- \( B^c \): El estudiante llega a tiempo.

**Datos adicionales:**
- Si va en coche, llega tarde el 20 % de las veces: \( P(B | A_1) = 0.20 \).
- Si va en autobús, llega a tiempo el 10 % de las veces. Por lo tanto, llega tarde el 90 % de las veces: \( P(B | A_2) = 0.90 \).

### a) Calcular la probabilidad de que el estudiante llegue tarde.

Para encontrar la probabilidad de que el estudiante llegue tarde, utilizamos la fórmula de la probabilidad total:

\[
P(B) = P(B | A_1) P(A_1) + P(B | A_2) P(A_2)
\]

Sustituyendo los valores:

\[
P(B) = (0.20)(0.70) + (0.90)(0.30)
\]

\[
P(B) = 0.14 + 0.27 = 0.41
\]

Por lo tanto, la probabilidad de que el estudiante llegue tarde es **0.41** o **41 %**.

### b) Sabiendo que ha llegado a tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que haya venido en autobús?

Usamos el **Teorema de Bayes** para encontrar \( P(A_2 | B^c) \), es decir, la probabilidad de que haya venido en autobús sabiendo que llegó a tiempo:

\[
P(A_2 | B^c) = \frac{P(B^c | A_2) P(A_2)}{P(B^c)}
\]

Primero, necesitamos calcular \( P(B^c) \), la probabilidad de que llegue a tiempo. Usamos nuevamente la probabilidad total:

\[
P(B^c) = P(B^c | A_1) P(A_1) + P(B^c | A_2) P(A_2)
\]

Sabemos que:

- \( P(B^c | A_1) = 1 - P(B | A_1) = 1 - 0.20 = 0.80 \)
- \( P(B^c | A_2) = 1 - P(B | A_2) = 1 - 0.90 = 0.10 \)

Sustituyendo:

\[
P(B^c) = (0.80)(0.70) + (0.10)(0.30) = 0.56 + 0.03 = 0.59
\]

Ahora aplicamos el teorema de Bayes:

\[
P(A_2 | B^c) = \frac{(0.10)(0.30)}{0.59} = \frac{0.03}{0.59} \approx 0.0508
\]

Por lo tanto, la probabilidad de que haya venido en autobús sabiendo que llegó a tiempo es aproximadamente **0.0508** o **5.08 %**.

### c) Sabiendo que ha llegado tarde, ¿cuál es la probabilidad de que haya venido en coche?

Usamos de nuevo el Teorema de Bayes para calcular \( P(A_1 | B) \), es decir, la probabilidad de que haya venido en coche sabiendo que llegó tarde:

\[
P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) P(A_1)}{P(B)}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
P(A_1 | B) = \frac{(0.20)(0.70)}{0.41} = \frac{0.14}{0.41} \approx 0.3415
\]

Por lo tanto, la probabilidad de que haya venido en coche sabiendo que llegó tarde es aproximadamente **0.3415** o **34.15 %**.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre estos cálculos?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Qué ocurre si el estudiante utiliza el autobús el 50 % de los días?
2. ¿Cómo cambiaría la probabilidad de llegar tarde si el estudiante solo llega tarde el 10 % de las veces cuando utiliza el coche?
3. ¿Qué sucede si el estudiante llega a tiempo en el 90 % de las veces cuando usa el autobús?
4. ¿Cómo influiría en el problema si el estudiante fuera en bicicleta el 10 % de los días y siempre llegara a tiempo en este caso?
5. ¿Cómo se utiliza el teorema de Bayes en otros contextos de la vida diaria?

**Tip:** El Teorema de Bayes es muy útil para actualizar probabilidades basadas en nueva información. Es especialmente importante en la toma de decisiones bajo incertidumbre.

Para ir a clase, un estudiante utiliza su coche el 70 % de los días, mientras que va en autobús el resto de los días. Cuando utiliza su coche, llega tarde el 20 % de los días, mientras que si va en autobús llega a tiempo el 10 % de los días. Elegido un día al azar: a) Calcular la probabilidad de que el estudiante llegue tarde. b) Sabiendo que ha llegado a tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que haya venido en autobús? c) Sabiendo que ha llegado tarde ¿cuál es la probabilidad de que haya venido en coche?

Solve a probability problem where a student uses a car 70% of the time and a bus the rest. Learn how to calculate the probability of arriving late, coming by bus if on time, and driving if late. Using Total Probability and Bayes' Theorem, this problem is perfect for high school or college-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation