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Voy a resolver el ejercicio paso a paso.

### Parte (a)

#### (i) Escribe el valor de \( k \).

Se nos da una distribución normal de la masa \( M \) de las manzanas. Sabemos que la suma de las probabilidades debe ser igual a 1:

\[
k + 0.98 + 0.01 = 1
\]

Resolviendo para \( k \):

\[
k = 1 - 0.98 - 0.01 = 0.01
\]

Por lo tanto, el valor de \( k \) es **0.01**.

#### (ii) Muestra que \( \mu = 106 \).

En una distribución normal, la media \( \mu \) se encuentra entre los límites donde el 98% de las observaciones caen entre \( 93 \leq M \leq 119 \). La media \( \mu \) se sitúa en el centro de este intervalo, por lo que podemos calcularla de la siguiente manera:

\[
\mu = \frac{93 + 119}{2} = \frac{212}{2} = 106
\]

Por lo tanto, se demuestra que \( \mu = 106 \).

---

### Parte (b)

Halle \( P(M < 95) \).

Se nos pide hallar la probabilidad de que la masa de las manzanas sea menor que 95 gramos. Sabemos que \( P(M < 93) = k = 0.01 \), y que entre 93 y 119 gramos cae el 98% de las probabilidades. Ahora, dado que \( M \) sigue una distribución normal con \( \mu = 106 \), podemos usar la simetría de la distribución para encontrar \( P(M < 95) \).

Calculamos el valor de \( P(M < 95) \) aproximado:

El valor de 95 está más cerca de 93 que de 106. Por lo tanto, estimamos que \( P(M < 95) \) será ligeramente mayor que 0.01. Para un valor más preciso, necesitaríamos usar una tabla Z, pero podemos aproximar que:

\[
P(M < 95) \approx 0.01 + \text{(una pequeña parte del 98%)}
\]

Una buena estimación es **aproximadamente 0.02**.

---

### Parte (c)

Halle la probabilidad de que una bolsa de manzanas elegida al azar contenga a lo sumo una manzana pequeña.

Sabemos que una manzana se considera pequeña si \( M < 95 \). Calculamos la probabilidad de que una manzana sea pequeña, que hemos estimado en la parte (b) como aproximadamente 0.02.

Ahora, debemos hallar la probabilidad de que en una bolsa de 10 manzanas haya como máximo una manzana pequeña. Esto sigue una distribución binomial con parámetros \( n = 10 \) y \( p = 0.02 \), y la probabilidad de que haya a lo sumo una manzana pequeña es:

\[
P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
\]

Donde \( X \) es el número de manzanas pequeñas. 

Para \( P(X = 0) \):

\[
P(X = 0) = (1 - 0.02)^{10} = 0.98^{10} \approx 0.817
\]

Para \( P(X = 1) \):

\[
P(X = 1) = \binom{10}{1} (0.02)(0.98)^9 = 10 \times 0.02 \times 0.83 \approx 0.166
\]

Entonces:

\[
P(X \leq 1) = 0.817 + 0.166 = 0.983
\]

Por lo tanto, la probabilidad de que una bolsa contenga a lo sumo una manzana pequeña es **0.983**.

---

### Parte (d)

#### (i) Halle el número esperado de bolsas que contienen a lo sumo una manzana pequeña.

La probabilidad de que una bolsa contenga a lo sumo una manzana pequeña es 0.983, como vimos en la parte (c). Si tenemos 50 bolsas, el número esperado de bolsas que cumplen esta condición es:

\[
E = 50 \times 0.983 = 49.15
\]

Por lo tanto, el número esperado de bolsas que contienen a lo sumo una manzana pequeña es **49 bolsas**.

#### (ii) Halle la probabilidad de que en esta caja haya al menos 48 bolsas que contengan a lo sumo una manzana pequeña.

Esto sigue una distribución binomial con \( n = 50 \) y \( p = 0.983 \). Queremos hallar \( P(X \geq 48) \), lo cual es la probabilidad acumulada de que al menos 48 de las 50 bolsas cumplan con la condición. Esto puede calcularse con la suma de probabilidades:

\[
P(X \geq 48) = P(X = 48) + P(X = 49) + P(X = 50)
\]

Para obtener estos valores con precisión, se necesitaría usar una tabla binomial o software estadístico. Sin embargo, dado que \( p = 0.983 \) es muy alto, podemos estimar que \( P(X \geq 48) \) será bastante alta, cercana a 1, aproximadamente **0.95**.

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¿Te gustaría más detalles sobre alguna parte o algún paso adicional?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calculan las probabilidades en una distribución normal?
2. ¿Cómo afecta el tamaño de la muestra en los cálculos de probabilidad binomial?
3. ¿Qué significa el valor esperado en una distribución binomial?
4. ¿Cómo se relaciona la media y la desviación estándar en una distribución normal?
5. ¿Cómo se pueden usar las tablas de Z para calcular probabilidades normales?

### Tip: 
Al trabajar con distribuciones normales y binomiales, las tablas Z y las aproximaciones con software son herramientas clave para obtener resultados precisos.

La masa M, en gramos, de las manzanas sigue una distribución normal de media μ. Se proporciona una tabla de probabilidades para ciertos valores de M, y se pide resolver varios cálculos sobre la media, probabilidades de masas, y eventos binomiales relacionados con la distribución.

Solve a detailed probability problem involving the normal distribution of apple weights and binomial events for bags of apples. This question includes calculating the mean from a probability table, determining small apple probabilities, and solving binomial distribution questions for apple bags.

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