وزن یک گلوله فلزی دارای میانگ ن ی ۵ کیلوگرم و انحراف معیار ۳ / ۰ کیلوگرم ) یا واریانس
۰۹ / ۰ ( است. این گلوله ها در بسته های ۱۰۰ تا یی بسته بندی می شود) 25 نمره(
الف( چقدر احتمال دارد وزن بسته ها ب ن ی ۴۹۶ تا ۵۰۰ کیلو گرم باشد؟
ب( چند درصد از بسته ها وز ن ی بیش از ۵۱۰ کیلوگرم دارند؟

برای حل این مسئله، از مفاهیم توزیع نرمال استفاده می‌کنیم. فرض کنیم که وزن هر گلوله فلزی \( X \) دارای توزیع نرمال با میانگین \( \mu = 5 \) کیلوگرم و انحراف معیار \( \sigma = 0.3 \) کیلوگرم باشد. همچنین وزن بسته‌های 100 تایی از گلوله‌ها را \( W \) می‌نامیم.

### قسمت (الف): احتمال اینکه وزن بسته‌ها بین 496 تا 500 کیلوگرم باشد
وزن یک بسته 100 تایی از گلوله‌ها \( W \) نیز توزیع نرمال دارد. میانگین این توزیع برابر است با:
\[
\mu_W = 100 \times \mu = 100 \times 5 = 500 \text{ کیلوگرم}
\]
و انحراف معیار \( W \) برابر است با:
\[
\sigma_W = \sigma \times \sqrt{100} = 0.3 \times 10 = 3 \text{ کیلوگرم}
\]
بنابراین \( W \) توزیع نرمال با میانگین 500 و انحراف معیار 3 دارد.

اکنون باید احتمال اینکه وزن بین 496 تا 500 کیلوگرم باشد را محاسبه کنیم. برای این کار باید مقدارهای \( Z \) را به دست آوریم:
\[
Z_1 = \frac{496 - 500}{3} = \frac{-4}{3} \approx -1.33
\]
\[
Z_2 = \frac{500 - 500}{3} = 0
\]

احتمال اینکه وزن بین 496 تا 500 کیلوگرم باشد برابر است با:
\[
P(496 \leq W \leq 500) = P(-1.33 \leq Z \leq 0)
\]
از جدول توزیع نرمال، مقدار \( P(Z \leq 0) \) برابر با 0.5 است و \( P(Z \leq -1.33) \) تقریباً برابر با 0.0918 است. بنابراین:
\[
P(-1.33 \leq Z \leq 0) = 0.5 - 0.0918 = 0.4082
\]
این احتمال حدود 0.4082 یا 40.82% است.

### قسمت (ب): چند درصد از بسته‌ها وزنی بیش از 510 کیلوگرم دارند؟
اکنون باید احتمال اینکه وزن بیشتر از 510 کیلوگرم باشد را محاسبه کنیم:
\[
Z = \frac{510 - 500}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33
\]
از جدول توزیع نرمال، مقدار \( P(Z \leq 3.33) \) تقریباً برابر با 0.9994 است. بنابراین:
\[
P(W > 510) = 1 - 0.9994 = 0.0006
\]
این درصد برابر با 0.06% است.

### جمع‌بندی:
1. احتمال اینکه وزن بسته‌ها بین 496 تا 500 کیلوگرم باشد برابر با 40.82% است.
2. فقط 0.06% از بسته‌ها وزن بیش از 510 کیلوگرم خواهند داشت.

آیا نیاز به توضیحات بیشتر دارید یا سوالات دیگری در این زمینه دارید؟ 

سوالات مرتبط:
1. اگر تعداد گلوله‌ها در هر بسته 50 عدد بود، چطور؟
2. چطور می‌توانیم احتمال وزن بیش از 490 کیلوگرم را محاسبه کنیم؟
3. اگر انحراف معیار به 0.5 کیلوگرم تغییر کند، چه تاثیری خواهد داشت؟
4. چرا از توزیع نرمال در این محاسبات استفاده می‌کنیم؟
5. آیا می‌توانیم این محاسبات را با استفاده از نرم‌افزارهای آماری انجام دهیم؟

**نکته:** در مسائل آماری، همیشه از جدول‌های توزیع نرمال استاندارد برای محاسبه احتمالات مربوط به توزیع نرمال استفاده کنید.

Explore the probability calculation using normal distribution for the weight of metal bullets packed in bundles of 100. Calculate the probability of bundle weights between 496 to 500 kilograms and determine the percentage of bundles weighing over 510 kilograms. Understand the application of probability theory in statistical analysis.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation