Se dispone de N urnas y de N bolas; urnas y bolas están numeradas de 1 a N. Se introduce al azar una bola dentro de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una coincidencia de números entre la bola y la urna que la contiene?

La pregunta describe un problema clásico de probabilidad conocido como el **problema del número coincidente** o **problema de las derangements**. La idea es calcular la probabilidad de que al menos una bola termine en la urna con el mismo número.

### Planteamiento

Para calcular la probabilidad de que **al menos una bola coincida con su urna**, es más fácil primero calcular la probabilidad complementaria, es decir, la probabilidad de que **ninguna bola coincida con su urna**. A esta disposición de bolas se le llama un **derangement**.

### Cálculo del derangement

Para \( N \) urnas y \( N \) bolas, el número de derangements, que denotaremos por \( !N \), se puede calcular usando la fórmula:

\[
!N = N! \sum_{k=0}^{N} \frac{(-1)^k}{k!}
\]

Donde:
- \( N! \) es el factorial de \( N \).
- \( k! \) es el factorial de \( k \).

### Probabilidad de que ninguna bola coincida (Derangement)

La probabilidad de que ninguna bola coincida con su urna es:

\[
P(\text{ninguna coincidencia}) = \frac{!N}{N!}
\]

### Probabilidad de al menos una coincidencia

Dado que la probabilidad de al menos una coincidencia es el complemento de la probabilidad de ninguna coincidencia, tenemos:

\[
P(\text{al menos una coincidencia}) = 1 - \frac{!N}{N!}
\]

### Ejemplo para \( N = 3 \)

Vamos a calcularlo para \( N = 3 \):

1. \( N! = 3! = 6 \)
2. El número de derangements \( !3 = 2 \) (las configuraciones posibles son (2,3,1) y (3,1,2)).

Entonces, la probabilidad de ninguna coincidencia es:

\[
P(\text{ninguna coincidencia}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]

Y la probabilidad de al menos una coincidencia es:

\[
P(\text{al menos una coincidencia}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\]

### Resultado General

Para valores grandes de \( N \), se puede aproximar la probabilidad de que haya al menos una coincidencia usando:

\[
P(\text{al menos una coincidencia}) \approx 1 - \frac{1}{e} \approx 0.6321
\]

Donde \( e \) es el número de Euler, aproximadamente igual a 2.71828.

### Conclusión

La probabilidad de obtener al menos una coincidencia de números entre la bola y la urna que la contiene es:

\[
P(\text{al menos una coincidencia}) = 1 - \frac{!N}{N!}
\]

Para valores grandes de \( N \), esta probabilidad se aproxima a \( 1 - \frac{1}{e} \).

¿Te gustaría un ejemplo con un valor específico de \( N \), detalles adicionales, o alguna pregunta en particular?

---

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo se calcula el factorial de un número y cómo se aplica en problemas de probabilidad?
2. ¿Qué es un derangement y cómo se aplica en otros problemas de probabilidad?
3. ¿Cómo se deriva la fórmula para el número de derangements \( !N \)?
4. ¿Qué significa el número \( e \) en matemáticas y dónde más se usa?
5. ¿Cómo se comporta la probabilidad cuando \( N \) se vuelve muy grande?
6. ¿Cuál es la relación entre este problema y la paradoja de los cumpleaños?
7. ¿Cómo se resuelve el problema si las urnas y bolas no están numeradas de 1 a \( N \)?
8. ¿Qué otros problemas clásicos de probabilidad son similares a este?

**Tip:** Practicar con ejemplos pequeños y luego generalizar es una excelente forma de entender problemas de probabilidad como este.

Explore the probability of matching numbers between balls and urns in the classic derangement problem. Learn how to calculate derangements using factorials and understand the concept of derangements in combinatorics and probability theory. Suitable for advanced high school students and undergraduate level.

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