Se introduce al azar una bola dentro de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una coincidencia entre la bola y la urna que la contiene?

El problema que describes se refiere a calcular la probabilidad de que al menos una bola termine en la urna que corresponde a su número, después de que todas las bolas han sido distribuidas aleatoriamente en las urnas. Este tipo de problema se conoce en teoría de la probabilidad como el problema de los **derangements** o desarreglos.

### Paso 1: Comprender el derangement
Un **derangement** es una permutación de un conjunto de elementos en la que ningún elemento aparece en su posición original. Para \(N\) elementos (en este caso, \(N\) bolas y \(N\) urnas), el número de derangements de \(N\) se denota por \( !N \).

### Paso 2: Probabilidad de ningún derangement
La probabilidad de que ninguna bola termine en su urna correspondiente (es decir, la probabilidad de un derangement) es \( \frac{!N}{N!} \).

### Paso 3: Probabilidad de al menos una coincidencia
Para encontrar la probabilidad de al menos una coincidencia, utilizamos el complemento del derangement. La probabilidad buscada será:

\[
P(\text{al menos una coincidencia}) = 1 - P(\text{ninguna coincidencia})
\]

\[
P(\text{al menos una coincidencia}) = 1 - \frac{!N}{N!}
\]

### Paso 4: Cálculo del número de derangements
El número de derangements \( !N \) se calcula usando la fórmula:

\[
!N = N! \sum_{k=0}^{N} \frac{(-1)^k}{k!}
\]

### Ejemplo con \(N = 4\):
1. Calculamos \(N!\): \( 4! = 24 \).
2. Calculamos el derangement:

\[
!4 = 24 \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right) = 24 \left( 1 - 1 + 0.5 - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)
\]
\[
!4 = 9
\]

3. Probabilidad de al menos una coincidencia:

\[
P(\text{al menos una coincidencia}) = 1 - \frac{9}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} = 0.625
\]

### Conclusión
La probabilidad general de obtener al menos una coincidencia entre la bola y la urna que la contiene es:

\[
P(\text{al menos una coincidencia}) = 1 - \frac{!N}{N!}
\]

Este valor puede calcularse para cualquier \(N\) usando la fórmula anterior.

¿Quieres más detalles sobre este tema o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué es un derangement y cómo se calcula para diferentes valores de \(N\)?
2. ¿Cómo se deriva la fórmula para el cálculo de derangements?
3. ¿Qué aplicaciones prácticas tiene el concepto de derangements?
4. ¿Cómo varía la probabilidad de al menos una coincidencia con \(N\)?
5. ¿Cómo se puede aproximar la probabilidad de derangement para grandes valores de \(N\)?
6. ¿Qué es el principio de inclusión-exclusión y cómo se usa aquí?
7. ¿Cómo calcular el factorial de un número grande de forma eficiente?
8. ¿Qué implicaciones tiene este problema en teoría de conjuntos y probabilidad?

**Tip:** Recuerda que la fórmula de derangement es un caso especial de permutación con restricciones, y entenderla te ayudará a resolver otros problemas combinatorios con restricciones similares.

Understand how to calculate the probability of at least one coincidence between a ball and its corresponding urn in a random distribution scenario. This problem involves concepts from probability theory and combinatorics, including derangements and the principle of inclusion-exclusion.

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