Suponga que existe el 2.5% de estudiantes reprobados y tomamos una muestra de 200 determine la probabilidad de encontrar 3 o mas reprobados. Aproxímelo a la distribución normal

Para resolver este problema, vamos a utilizar una aproximación de la distribución binomial mediante la distribución normal.

### Paso 1: Definir la distribución binomial
El problema describe una situación en la que tenemos una muestra de \( n = 200 \) estudiantes y la probabilidad de que un estudiante repruebe es \( p = 0.025 \). El número de estudiantes reprobados sigue una distribución binomial:

\[
X \sim \text{Binomial}(n = 200, p = 0.025)
\]

### Paso 2: Aproximación a la distribución normal
Podemos aproximar la distribución binomial a una distribución normal debido a que \( n \) es grande. La media (\( \mu \)) y la desviación estándar (\( \sigma \)) de la distribución normal equivalente se calculan de la siguiente forma:

\[
\mu = n \cdot p = 200 \cdot 0.025 = 5
\]
\[
\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{200 \cdot 0.025 \cdot 0.975} \approx 2.187
\]

Por lo tanto, la distribución normal aproximada sería:

\[
X \sim N(\mu = 5, \sigma^2 = 2.187^2)
\]

### Paso 3: Calcular la probabilidad usando la aproximación normal
Queremos encontrar la probabilidad de que haya 3 o más reprobados, es decir, \( P(X \geq 3) \). Para usar la aproximación normal, aplicamos la corrección por continuidad:

\[
P(X \geq 3) \approx P\left(X > 2.5\right)
\]

Calculamos el valor \( z \) correspondiente:

\[
z = \frac{2.5 - 5}{2.187} \approx -1.143
\]

Ahora, usamos la tabla de la distribución normal estándar para encontrar \( P(Z > -1.143) \):

\[
P(Z > -1.143) \approx 1 - P(Z < -1.143) \approx 1 - 0.1271 = 0.8729
\]

### Respuesta final
La probabilidad aproximada de encontrar 3 o más estudiantes reprobados en una muestra de 200 es aproximadamente **0.8729** o **87.29%**.

¿Te gustaría algún detalle adicional o tienes alguna pregunta?

---

1. ¿Cómo se aplica la corrección por continuidad en otros contextos?
2. ¿Cuándo es apropiado usar la aproximación normal para una distribución binomial?
3. ¿Cuál es la diferencia entre la distribución binomial y la normal?
4. ¿Qué ocurre si no aplicamos la corrección por continuidad en este problema?
5. ¿Qué otras distribuciones se pueden aproximar con la distribución normal?
6. ¿Cómo se interpretan los resultados de las tablas de la distribución normal?
7. ¿Cuál es el impacto de la muestra \( n \) en la precisión de la aproximación?
8. ¿Cómo afecta la probabilidad \( p \) a la forma de la distribución binomial?

**Tip:** Cuando utilices tablas de la distribución normal, asegúrate de tener claro si la tabla da valores acumulados desde la cola izquierda o la cola derecha para evitar errores en la interpretación.

Explore the calculation of the probability of finding 3 or more failing students in a sample of 200, using a normal distribution approximation. Understand the application of binomial and normal distributions in probability calculations.

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