Suponga que existe el 2.5% de estudiantes reprobados y tomamos una muestra de 200 determine la probabilidad de encontrar 3 o mas reprobados. Distribución binomial

Para resolver este problema, utilizaremos la distribución binomial. Dado que estamos buscando la probabilidad de encontrar 3 o más estudiantes reprobados en una muestra de 200, con una probabilidad de 2.5% de reprobar (p = 0.025), procedemos de la siguiente manera:

### Definición de la distribución binomial

La distribución binomial está definida por:
- \( n = 200 \) (número de ensayos, en este caso, estudiantes)
- \( p = 0.025 \) (probabilidad de éxito, en este caso, reprobar)
- \( X \) es la variable aleatoria que representa el número de estudiantes reprobados en la muestra.

Queremos encontrar \( P(X \geq 3) \), es decir, la probabilidad de que haya 3 o más estudiantes reprobados.

### Cálculo de la probabilidad

Podemos calcular \( P(X \geq 3) \) restando la probabilidad de que haya menos de 3 estudiantes reprobados de 1:

\[
P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3)
\]

\( P(X < 3) \) es la suma de las probabilidades de que haya 0, 1, o 2 estudiantes reprobados:

\[
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
\]

### Fórmula de la probabilidad binomial

La probabilidad binomial para un valor específico de \( X = k \) es:

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]

Donde \( \binom{n}{k} \) es el coeficiente binomial que se calcula como:

\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]

Vamos a calcular las probabilidades:

1. **Probabilidad de 0 reprobados (\( X = 0 \))**:

\[
P(X = 0) = \binom{200}{0} (0.025)^0 (0.975)^{200}
\]

2. **Probabilidad de 1 reprobado (\( X = 1 \))**:

\[
P(X = 1) = \binom{200}{1} (0.025)^1 (0.975)^{199}
\]

3. **Probabilidad de 2 reprobados (\( X = 2 \))**:

\[
P(X = 2) = \binom{200}{2} (0.025)^2 (0.975)^{198}
\]

Finalmente, sumamos estas probabilidades y restamos de 1 para obtener \( P(X \geq 3) \).

Voy a calcular esto ahora.La probabilidad de encontrar 3 o más estudiantes reprobados en una muestra de 200, dada una tasa de reprobación del 2.5%, es aproximadamente **0.8785** o **87.85%**.

¿Te gustaría que te explique más detalles sobre este cálculo o tienes alguna otra pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para ampliar el tema:

1. ¿Cómo afecta el tamaño de la muestra a la probabilidad de encontrar un número específico de éxitos en una distribución binomial?
2. ¿Qué cambios ocurrirían en la probabilidad si aumentamos la tasa de reprobación al 5%?
3. ¿Cómo se calcula el coeficiente binomial y cuál es su importancia en la distribución binomial?
4. ¿Cuál es la diferencia entre la distribución binomial y la distribución normal?
5. ¿Qué es el teorema central del límite y cómo se relaciona con la distribución binomial?
6. ¿Cómo se podría utilizar una distribución binomial para modelar el resultado de exámenes en una población más grande?
7. ¿Qué significa la probabilidad acumulativa y cómo se aplica en la distribución binomial?
8. ¿Cómo se puede calcular la media y la varianza de una distribución binomial?

**Tip:** En la distribución binomial, la media se calcula como \( \mu = n \cdot p \), y la varianza como \( \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) \).

Calculate the probability of finding 3 or more students who fail in a sample of 200, given a 2.5% failure rate. Learn how to apply the binomial distribution to solve this problem with step-by-step calculations.

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