Para calcular las **derivadas parciales** de la función \( z = y^2 \sin \left( \frac{x}{y} \right) \), necesitamos hallar las derivadas parciales con respecto a \(x\) y \(y\).

1. **Derivada parcial de \( z \) con respecto a \( x \):**

La variable \( y \) se considera constante al derivar con respecto a \( x \).

\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( y^2 \sin \left( \frac{x}{y} \right) \right)
\]

Como \( y^2 \) es una constante respecto a \( x \), aplicamos la regla de la cadena:

\[
\frac{\partial z}{\partial x} = y^2 \cdot \cos \left( \frac{x}{y} \right) \cdot \frac{1}{y}
\]

Simplificamos:

\[
\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \cos \left( \frac{x}{y} \right)
\]

---

2. **Derivada parcial de \( z \) con respecto a \( y \):**

Ahora derivamos con respecto a \( y \), teniendo en cuenta que \( x \) es constante. Debemos aplicar la regla del producto y la regla de la cadena:

\[
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( y^2 \sin \left( \frac{x}{y} \right) \right)
\]

Primero aplicamos la regla del producto:

\[
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (y^2) \cdot \sin \left( \frac{x}{y} \right) + y^2 \cdot \frac{\partial}{\partial y} \sin \left( \frac{x}{y} \right)
\]

Derivamos \( y^2 \) con respecto a \( y \):

\[
\frac{\partial}{\partial y} (y^2) = 2y
\]

Ahora, derivamos \( \sin \left( \frac{x}{y} \right) \) con respecto a \( y \), usando la regla de la cadena:

\[
\frac{\partial}{\partial y} \sin \left( \frac{x}{y} \right) = \cos \left( \frac{x}{y} \right) \cdot \left( -\frac{x}{y^2} \right)
\]

Sustituimos ambos términos:

\[
\frac{\partial z}{\partial y} = 2y \sin \left( \frac{x}{y} \right) + y^2 \cdot \cos \left( \frac{x}{y} \right) \cdot \left( -\frac{x}{y^2} \right)
\]

Simplificamos el segundo término:

\[
\frac{\partial z}{\partial y} = 2y \sin \left( \frac{x}{y} \right) - x \cos \left( \frac{x}{y} \right)
\]

---

Por lo tanto, las **derivadas parciales** de la función \( z = y^2 \sin \left( \frac{x}{y} \right) \) son:

- Derivada parcial respecto a \( x \):
  \[
  \frac{\partial z}{\partial x} = y \cos \left( \frac{x}{y} \right)
  \]
- Derivada parcial respecto a \( y \):
  \[
  \frac{\partial z}{\partial y} = 2y \sin \left( \frac{x}{y} \right) - x \cos \left( \frac{x}{y} \right)
  \]

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna otra pregunta?

---

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para practicar:

1. ¿Cómo se aplican las derivadas parciales en funciones con más de dos variables?
2. ¿Cuál es la diferencia entre derivada parcial y derivada total?
3. ¿Cómo aplicar la regla de la cadena en varias variables?
4. ¿Qué sucede si \( y = 0 \) en la función \( z = y^2 \sin \left( \frac{x}{y} \right) \)?
5. ¿Cómo interpretar las derivadas parciales en el contexto de una superficie tridimensional?

**Tip:** Recuerda que para derivadas parciales, las otras variables se tratan como constantes al derivar con respecto a una sola.

Discover how to calculate the partial derivatives of the function z = y^2 sin(x/y) with respect to x and y using the product rule and chain rule. This detailed explanation is perfect for university-level calculus students.

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