on veut  clôturer un paturage de forme rectangulaire devant avoir une superficie d'un kilometre carré. Le paturage est borné par une route rectiligne sur l'un de ses côtés. Pour clôturer le long de la route, il en côute 500.- fr. le km, clôturer les autres côtés revient à 300.- fr. le km. Quelles sont les dimensions du pâturage qui minimise les côuts?

Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser le calcul différentiel pour minimiser le coût de clôture du pâturage.

### 1. Définir les variables et les équations

Soit :
- \( x \) la longueur du pâturage le long de la route (en kilomètres).
- \( y \) la largeur du pâturage (en kilomètres).

La superficie du pâturage est donnée par :

\[
x \times y = 1 \text{ km}^2
\]

On peut isoler \( y \) pour obtenir :

\[
y = \frac{1}{x}
\]

### 2. Calculer le coût total de clôture

Le coût total \( C \) de la clôture est composé de deux parties :
- Le coût pour clôturer le long de la route (longueur \( x \)) : \( 500 \times x \)
- Le coût pour clôturer les trois autres côtés (2 côtés de longueur \( y \) et 1 côté de longueur \( x \)) : \( 300 \times (2y + x) \)

Donc, le coût total \( C \) est :

\[
C = 500x + 300(2y + x)
\]

Substituons \( y = \frac{1}{x} \) dans l'équation :

\[
C = 500x + 300\left(2\left(\frac{1}{x}\right) + x\right)
\]

\[
C = 500x + 300\left(\frac{2}{x} + x\right)
\]

\[
C = 500x + \frac{600}{x} + 300x
\]

\[
C = 800x + \frac{600}{x}
\]

### 3. Trouver la dimension qui minimise le coût

Pour minimiser le coût, nous devons trouver la dérivée de \( C \) par rapport à \( x \) et la rendre égale à zéro.

Calculons la dérivée \( C'(x) \) :

\[
C'(x) = 800 - \frac{600}{x^2}
\]

Mettons \( C'(x) = 0 \) pour trouver le minimum :

\[
800 - \frac{600}{x^2} = 0
\]

\[
800 = \frac{600}{x^2}
\]

\[
x^2 = \frac{600}{800}
\]

\[
x^2 = \frac{3}{4}
\]

\[
x = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Sachant que \( y = \frac{1}{x} \), nous trouvons :

\[
y = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}
\]

### 4. Dimensions optimales

Les dimensions du pâturage qui minimisent les coûts sont :

- Longueur \( x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) km le long de la route
- Largeur \( y = \frac{2\sqrt{3}}{3} \) km

Ces dimensions minimisent le coût total de clôture du pâturage.

### Questions supplémentaires :

1. Comment calculer le coût total si on change le prix de la clôture le long de la route?
2. Quel serait l'impact sur les dimensions si le coût de clôturer les autres côtés augmentait?
3. Comment résoudre ce problème en utilisant une méthode numérique?
4. Quelle serait la forme optimale du pâturage si le terrain n'était pas borné par une route?
5. Comment intégrer une contrainte environnementale dans ce type de problème d'optimisation?

**Conseil:** Pour minimiser les coûts dans des problèmes similaires, il est souvent utile d'exprimer toutes les variables en fonction d'une seule variable et d'utiliser le calcul différentiel pour trouver les points critiques.

Learn how to minimize the cost of fencing a rectangular pasture with one side bounded by a road. Solve using calculus optimization techniques to find the optimal dimensions that minimize costs. Suitable for advanced high school students and beyond.

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