Tính bằng phương pháp lấy đạo hàm của TU

Để giải bài toán bằng phương pháp lấy đạo hàm của tổng hữu dụng (Total Utility, TU), chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

### 1. Xác định hàm hữu dụng và ràng buộc ngân sách

Hàm hữu dụng của Thảo được cho là:
\[
U(X, Y) = X^{\frac{1}{3}} Y^{\frac{2}{3}}
\]

Ràng buộc ngân sách là:
\[
5.000.000 = 1.000X + 2.000Y
\]
hay rút gọn lại:
\[
5.000 = X + 2Y
\]

### 2. Tìm hàm tổng hữu dụng (TU)

Tổng hữu dụng là hàm hữu dụng \( U(X, Y) \) được biểu diễn như một hàm của \( X \) (hoặc \( Y \)) bằng cách thay thế ràng buộc ngân sách vào hàm hữu dụng.

Từ ràng buộc ngân sách, ta có:
\[
Y = \frac{5.000 - X}{2}
\]

Thay vào hàm hữu dụng:
\[
U(X) = X^{\frac{1}{3}} \left(\frac{5.000 - X}{2}\right)^{\frac{2}{3}}
\]

### 3. Lấy đạo hàm của hàm TU

Chúng ta cần tìm giá trị \( X \) sao cho hàm hữu dụng \( U(X) \) đạt cực đại. Để làm điều này, ta sẽ lấy đạo hàm của hàm hữu dụng \( U(X) \) theo \( X \) và đặt nó bằng 0.

\[
\frac{dU}{dX} = \frac{1}{3} X^{-\frac{2}{3}} \left(\frac{5.000 - X}{2}\right)^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3} X^{\frac{1}{3}} \left(\frac{5.000 - X}{2}\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{2} = 0
\]

Bây giờ, để đơn giản hóa, ta sẽ nhân toàn bộ phương trình với \( 3 \) và \( 2X^{\frac{2}{3}} \left(\frac{5.000 - X}{2}\right)^{\frac{1}{3}} \), ta có:
\[
2 \cdot \left(\frac{5.000 - X}{2}\right) - X = 0
\]

Rút gọn:
\[
5.000 - X = 2X
\]

Giải phương trình này cho \( X \):
\[
3X = 5.000
\]

\[
X = \frac{5.000}{3} \approx 1.667
\]

### 4. Tính giá trị \( Y \)

Thay giá trị \( X \) vào ràng buộc ngân sách để tìm \( Y \):
\[
Y = \frac{5.000 - 1.667}{2} \approx 1.667
\]

### 5. Kết luận

Điểm tiêu dùng tối ưu là \( X \approx 1.667 \) và \( Y \approx 1.667 \). 

Điều này có nghĩa là Thảo nên chi khoảng 1.667.000 đồng để đóng góp từ thiện và 3.333.000 đồng để tiêu dùng hàng hóa khác.

### Câu hỏi bổ sung:
1. Tại sao chúng ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm điểm tiêu dùng tối ưu?
2. Nếu hàm hữu dụng của Thảo thay đổi, làm thế nào để tìm điểm tiêu dùng tối ưu mới?
3. Điều gì xảy ra nếu đơn giá của \( X \) tăng lên?
4. Có thể tồn tại một điểm tối ưu khác nếu ràng buộc ngân sách thay đổi không?
5. Nếu Thảo có thêm một nguồn thu nhập khác, thì điểm tiêu dùng tối ưu có thay đổi không?

**Mẹo:** Khi sử dụng phương pháp đạo hàm để tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa hàm số, hãy luôn kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện biên hay không.

Learn how to optimize consumer spending using the derivative method of Total Utility (TU). Solve the problem step-by-step with the utility function U(X, Y) and the budget constraint equation. Suitable for university-level economics and mathematics students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation