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Resuelve cada punto individualmente paso a paso 

Vamos a resolver cada punto de la pregunta usando las funciones \( f(x) = \sqrt{x} \) y \( g(x) = x^2 - 1 \). Procederemos punto por punto.

### a) \( f(g(1)) \)
Primero, evaluamos \( g(1) \):
\[
g(1) = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0
\]
Ahora, evaluamos \( f(0) \):
\[
f(0) = \sqrt{0} = 0
\]
Por lo tanto, \( f(g(1)) = 0 \).

### b) \( g(f(1)) \)
Primero, evaluamos \( f(1) \):
\[
f(1) = \sqrt{1} = 1
\]
Ahora, evaluamos \( g(1) \):
\[
g(1) = 1^2 - 1 = 0
\]
Por lo tanto, \( g(f(1)) = 0 \).

### c) \( f(g(0)) \)
Primero, evaluamos \( g(0) \):
\[
g(0) = 0^2 - 1 = 0 - 1 = -1
\]
Ahora, evaluamos \( f(-1) \). Sin embargo, \( f(x) = \sqrt{x} \) no está definida para \( x < 0 \), por lo tanto, \( f(g(0)) \) **no está definida**.

### d) \( f(g(-4)) \)
Primero, evaluamos \( g(-4) \):
\[
g(-4) = (-4)^2 - 1 = 16 - 1 = 15
\]
Ahora, evaluamos \( f(15) \):
\[
f(15) = \sqrt{15}
\]
Por lo tanto, \( f(g(-4)) = \sqrt{15} \).

### e) \( f(g(x)) \)
Aquí simplemente estamos evaluando \( f(g(x)) \) en términos generales:
\[
g(x) = x^2 - 1
\]
\[
f(g(x)) = f(x^2 - 1) = \sqrt{x^2 - 1}
\]
Por lo tanto, \( f(g(x)) = \sqrt{x^2 - 1} \).

### f) \( g(f(x)) \)
Primero, evaluamos \( f(x) \) en términos generales:
\[
f(x) = \sqrt{x}
\]
Ahora evaluamos \( g(f(x)) \):
\[
g(f(x)) = (\sqrt{x})^2 - 1 = x - 1
\]
Por lo tanto, \( g(f(x)) = x - 1 \).

---

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta adicional? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se define la función \( g(x) \) para valores negativos?
2. ¿Cuál es el dominio de \( f(g(x)) \)?
3. ¿Qué sucede si \( x = 1 \) en la función \( f(g(x)) \)?
4. ¿Cómo se verían las gráficas de \( f(x) \) y \( g(x) \)?
5. ¿Qué otros valores de \( x \) hacen que \( f(g(x)) \) no esté definida?

**Tip:** Es importante recordar que la función raíz cuadrada solo está definida para valores no negativos en el conjunto de los números reales.

Explore step-by-step solutions for evaluating composite functions f(g(x)) and g(f(x)). This problem involves function composition using specific functions f(x) = square root of x and g(x) = x^2 - 1, covering advanced high school level concepts.

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