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Para determinar si la función \( f(x, y) \) es continua en el punto (0,0), debemos verificar si el límite de \( f(x, y) \) cuando \( (x, y) \) se aproxima a (0,0) es igual al valor de la función en ese punto.

La función está definida de la siguiente manera:

\[
f(x, y) = 
\begin{cases} 
\frac{x^2 y}{x^4 + 2y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\
0 & \text{si } (x,y) = (0,0)
\end{cases}
\]

### Paso 1: Evaluar el límite
Debemos evaluar el límite de \(\frac{x^2 y}{x^4 + 2y^2}\) cuando \((x, y) \to (0, 0)\). Para esto, consideremos el cambio de variables a coordenadas polares donde \(x = r \cos(\theta)\) y \(y = r \sin(\theta)\). Esto simplifica la expresión de la siguiente manera:

\[
x^2 y = (r \cos(\theta))^2 (r \sin(\theta)) = r^3 \cos^2(\theta) \sin(\theta)
\]
\[
x^4 + 2y^2 = (r \cos(\theta))^4 + 2(r \sin(\theta))^2 = r^4 \cos^4(\theta) + 2r^2 \sin^2(\theta)
\]

La función se convierte en:
\[
f(r, \theta) = \frac{r^3 \cos^2(\theta) \sin(\theta)}{r^4 \cos^4(\theta) + 2r^2 \sin^2(\theta)}
\]

Podemos factorizar \(r^2\) del denominador:
\[
f(r, \theta) = \frac{r^3 \cos^2(\theta) \sin(\theta)}{r^2(r^2 \cos^4(\theta) + 2 \sin^2(\theta))} = \frac{r \cos^2(\theta) \sin(\theta)}{r^2 \cos^4(\theta) + 2 \sin^2(\theta)}
\]

### Paso 2: Analizar el comportamiento cuando \(r \to 0\)
Al hacer \(r \to 0\), observamos que tanto el numerador como el denominador tienden a 0. Sin embargo, el término \(r\) en el numerador nos indica que el límite es 0, independientemente del valor de \(\theta\). Esto sugiere que el límite podría ser 0, pero necesitamos confirmar que no depende del camino de aproximación.

### Conclusión sobre la continuidad
Dado que:
\[
\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y) = 0
\]
y \(f(0, 0) = 0\), la función es continua en \((0,0)\).

¿Deseas que verifique este resultado de alguna manera específica o necesitas más detalles sobre algún paso del proceso? Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo verificar la continuidad de una función en otros puntos?
2. ¿Qué implica el cambio a coordenadas polares en análisis de límites?
3. ¿Cómo se evalúan los límites en múltiples variables cuando hay términos no lineales?
4. ¿Puedo aplicar el mismo método para otras funciones con condiciones en piezas?
5. ¿Qué otras propiedades matemáticas, como la diferenciabilidad, podrían explorarse en este contexto?

**Tip**: Cuando trabajes con límites en varias variables, considerar el uso de coordenadas polares puede simplificar significativamente el proceso al reducir la cantidad de variables y resaltar la dependencia radial.

Given the function f(x,y) = { (x^2 y) / (x^4 + 2y^2) for (x, y) ≠ (0, 0), 0 for (x, y) = (0, 0), decide if it is continuous at (0, 0).

Explore the continuity of the function f(x,y) = (x^2 y) / (x^4 + 2y^2) at (0,0). Learn how to use limits, polar coordinates, and analyze behavior near the origin. Suitable for university-level calculus students.

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