Continuidad
Determina en que puntos son continuas la siguientes funciones: 17. f(x, y) = sin(xy)
e
x−y
2

Para determinar en qué puntos la función \( f(x, y) = \frac{\sin(xy)}{e^{x - y^2}} \) es continua, debemos verificar dónde se cumplen dos condiciones clave:

1. **Existencia de la función**: La función \( f(x, y) \) debe estar bien definida para todos los puntos en el dominio de interés.
2. **Límite y función coinciden**: El límite de la función cuando \( (x, y) \) se aproxima a un punto \( (a, b) \) debe coincidir con el valor de la función en ese punto, es decir, \( \lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) = f(a, b) \).

### Paso 1: Análisis de existencia
La función \( f(x, y) = \frac{\sin(xy)}{e^{x - y^2}} \) está compuesta por dos partes:

- El numerador \( \sin(xy) \), que es continuo para todo \( (x, y) \in \mathbb{R}^2 \).
- El denominador \( e^{x - y^2} \), que también es continuo para todo \( (x, y) \in \mathbb{R}^2 \), y además nunca se hace cero porque la función exponencial es siempre positiva.

Por lo tanto, \( f(x, y) \) está bien definida y continua para todo \( (x, y) \) en \( \mathbb{R}^2 \).

### Paso 2: Verificación del límite y continuidad
Dado que tanto el numerador como el denominador son funciones continuas y la función no presenta ningún punto donde el denominador sea cero, la función \( f(x, y) \) es continua en todo \( \mathbb{R}^2 \).

### Conclusión
La función \( f(x, y) = \frac{\sin(xy)}{e^{x - y^2}} \) es continua en todos los puntos de \( \mathbb{R}^2 \).

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¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta específica?

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Qué es una función continua y cómo se define formalmente?
2. ¿Cómo se prueba la continuidad en varios puntos para una función de varias variables?
3. ¿Cuáles son las condiciones necesarias para que una función no sea continua?
4. ¿Cómo afecta el denominador al análisis de continuidad de una función?
5. ¿Qué sucede si el denominador de una función se aproxima a cero?
6. ¿Cómo se podría extender este análisis a funciones más complicadas?
7. ¿Qué métodos se pueden usar para estudiar la continuidad en funciones definidas a trozos?
8. ¿Cómo afecta la composición de funciones a la continuidad?

**Tip:** Siempre verifica el dominio de la función antes de analizar la continuidad para evitar puntos donde la función no esté bien definida.

Explore the analysis of continuity for the function f(x, y) = sin(xy) / e^(x - y^2). Learn how to determine where the function is continuous using key concepts like functions of several variables and limits. Suitable for undergraduate-level study.

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