En un experimento, se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de v0=20m/s. La aceleración de la gravedad se considera constante y es de −9.8m/s2 (considerando el sentido positivo hacia arriba). Se desea modelar el movimiento de la pelota y determinar su posición en función del tiempo.

El movimiento de la pelota se puede modelar utilizando las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, ya que la aceleración es constante y corresponde a la aceleración de la gravedad \(-9.8 \, \text{m/s}^2\). 

La ecuación que describe la posición de la pelota \( y(t) \) en función del tiempo \( t \) es:

\[
y(t) = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2
\]

Donde:
- \( y(t) \) es la posición de la pelota en función del tiempo.
- \( v_0 = 20 \, \text{m/s} \) es la velocidad inicial.
- \( a = -9.8 \, \text{m/s}^2 \) es la aceleración debida a la gravedad.
- \( t \) es el tiempo transcurrido.

Sustituyendo los valores en la fórmula:

\[
y(t) = 20 t + \frac{1}{2} (-9.8) t^2
\]

Simplificando:

\[
y(t) = 20 t - 4.9 t^2
\]

Esta es la ecuación que modela la posición de la pelota en función del tiempo. 

### Análisis adicional:
1. En el instante inicial \( t = 0 \), la pelota está en el suelo, es decir, \( y(0) = 0 \).
2. La pelota alcanzará su altura máxima cuando su velocidad sea 0. Para obtener ese instante, podemos usar la ecuación de la velocidad:

\[
v(t) = v_0 + a t
\]

Sustituyendo los valores:

\[
v(t) = 20 - 9.8 t
\]

Cuando la velocidad \( v(t) = 0 \):

\[
0 = 20 - 9.8 t
\]

\[
t = \frac{20}{9.8} \approx 2.04 \, \text{segundos}
\]

Este es el tiempo en el que la pelota alcanza su altura máxima. Para encontrar la altura máxima, sustituimos este valor de \( t \) en la ecuación de \( y(t) \):

\[
y(2.04) = 20(2.04) - 4.9(2.04)^2 \approx 20.4 \, \text{m}
\]

Por lo tanto, la pelota alcanza una altura máxima de aproximadamente \( 20.4 \, \text{m} \) después de \( 2.04 \, \text{segundos} \).

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se deriva la ecuación de la posición en función del tiempo?
2. ¿Qué sucede si la velocidad inicial \( v_0 \) es diferente?
3. ¿Cómo se calcula el tiempo total que tarda la pelota en volver al suelo?
4. ¿Qué velocidad tiene la pelota justo antes de tocar el suelo?
5. ¿Cómo cambiaría el movimiento si la aceleración de la gravedad no fuera constante?

**Tip**: Recuerda que la velocidad y la aceleración son vectores, lo que significa que tienen magnitud y dirección. En este caso, el signo negativo en la aceleración indica que está dirigida hacia abajo.

Discover how to model the vertical motion of a ball launched upward with an initial velocity of 20 m/s and acceleration due to gravity of -9.8 m/s². This detailed solution involves kinematic equations and quadratic functions to determine the ball's position and maximum height. Suitable for Grades 10-12 physics and math students.

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