dame una idea de como resolver esto: la relación entre las variables X e Y se presenta mediante la ecuación: Y=2,4 + 8,2 X. Para la variable X se sabe que al tomar una muestra de n=50 unidades se obtuvo: X=12 y S2/x=5. Encuentre la media y la varianza para la variable Y.Y=? ; S2/Y=?

Para resolver este problema, debemos usar la relación entre \( Y \) y \( X \) que se presenta mediante la ecuación \( Y = 2.4 + 8.2X \).

### 1. **Encontrar la media de \( Y \) ( \( \bar{Y} \) ):**

Sabemos que:

\[
Y = 2.4 + 8.2X
\]

Dado que la media de \( X \) es \( \bar{X} = 12 \), podemos sustituir este valor en la ecuación para encontrar la media de \( Y \):

\[
\bar{Y} = 2.4 + 8.2 \times 12
\]

Calculando:

\[
\bar{Y} = 2.4 + 98.4 = 100.8
\]

Por lo tanto, la media de \( Y \) es \( \bar{Y} = 100.8 \).

### 2. **Encontrar la varianza de \( Y \) ( \( S^2_Y \) ):**

La relación entre la varianza de \( Y \) y la varianza de \( X \) se puede derivar de la fórmula de \( Y = 2.4 + 8.2X \).

Sabemos que si \( Y \) es una función lineal de \( X \), la varianza de \( Y \) está relacionada con la varianza de \( X \) mediante la siguiente fórmula:

\[
S^2_Y = (8.2)^2 \times S^2_X
\]

Nos dan \( S^2_X = 5 \), por lo que:

\[
S^2_Y = (8.2)^2 \times 5
\]

Calculamos:

\[
S^2_Y = 67.24 \times 5 = 336.2
\]

Por lo tanto, la varianza de \( Y \) es \( S^2_Y = 336.2 \).

### Resumen:
- **Media de \( Y \):** \( \bar{Y} = 100.8 \)
- **Varianza de \( Y \):** \( S^2_Y = 336.2 \)

---

¿Te gustaría más detalles sobre este procedimiento o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para ampliar el tema:
1. ¿Cómo se deriva la varianza de una función lineal?
2. ¿Qué papel juega la pendiente de la ecuación en la varianza?
3. ¿Cómo influye la muestra en la precisión de la estimación de la media?
4. ¿Cómo se comportaría la varianza si \( S^2_X \) fuera mayor?
5. ¿Qué interpretación se puede hacer de la media de \( Y \) en este contexto?

**Tip:** La varianza mide la dispersión de los datos. Una varianza alta indica que los valores están más alejados de la media.

This problem demonstrates how to calculate the mean and variance for the variable Y in the linear equation Y = 2.4 + 8.2X. Given a sample of X with n=50, X̄ = 12, and S²X = 5, the step-by-step solution explores the relationship between the variables. Suitable for undergraduate students in statistics.

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