En un triángulo rectángulo, el perímetro es 24 cm y el coseno de uno de los ángulos agudos es 4/5. Hallar la longitud de su hipotenusa.


16 cm


10 cm


12 cm


20 cm


15 cm

Para resolver este problema, vamos a usar las propiedades de un triángulo rectángulo.

### Paso 1: Relación entre el coseno y los lados del triángulo

Sabemos que el coseno de uno de los ángulos agudos es:

\[
\cos(\theta) = \frac{4}{5}
\]

El coseno en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente al ángulo (\(b\)) y la hipotenusa (\(c\)):

\[
\cos(\theta) = \frac{b}{c}
\]

Por lo tanto, \(b = \frac{4}{5}c\).

### Paso 2: Aplicar el teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras nos dice que:

\[
a^2 + b^2 = c^2
\]

Sustituyendo \(b = \frac{4}{5}c\):

\[
a^2 + \left( \frac{4}{5}c \right)^2 = c^2
\]

\[
a^2 + \frac{16}{25}c^2 = c^2
\]

Multiplicamos todo por 25 para eliminar el denominador:

\[
25a^2 + 16c^2 = 25c^2
\]

\[
25a^2 = 9c^2
\]

\[
a^2 = \frac{9}{25}c^2
\]

\[
a = \frac{3}{5}c
\]

### Paso 3: Relación entre el perímetro y los lados

El perímetro del triángulo rectángulo es la suma de los tres lados:

\[
P = a + b + c = 24
\]

Sustituyendo \(a = \frac{3}{5}c\) y \(b = \frac{4}{5}c\):

\[
\frac{3}{5}c + \frac{4}{5}c + c = 24
\]

Sumamos los términos:

\[
\frac{7}{5}c + c = 24
\]

\[
\frac{12}{5}c = 24
\]

Multiplicamos ambos lados por 5:

\[
12c = 120
\]

\[
c = 10
\]

### Paso 4: Conclusión

La longitud de la hipotenusa es **10 cm**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

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Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el perímetro en diferentes tipos de triángulos?
2. ¿Qué otra información puede derivarse del ángulo dado en un triángulo?
3. ¿Cómo afecta el valor del coseno a la forma del triángulo?
4. ¿Cómo se puede hallar el área de un triángulo rectángulo?
5. ¿Qué ocurre si cambiamos el valor del coseno en este problema?

**Tip:** El teorema de Pitágoras es esencial para resolver triángulos rectángulos, pero las funciones trigonométricas también simplifican los cálculos.

En un triángulo rectángulo, el perímetro es 24 cm y el coseno de uno de los ángulos agudos es 4/5. Hallar la longitud de su hipotenusa.

Learn how to calculate the hypotenuse of a right triangle where the perimeter is 24 cm, and the cosine of one of the acute angles is 4/5. This problem demonstrates the use of trigonometric functions and the Pythagorean theorem. Suitable for students in Grades 9-11.

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