Un contratista de construcción tiene dos proyectos en los que puede trabajar. El proyecto A requiere 2 semanas de trabajo y produce una ganancia de $5000, mientras que el proyecto B requiere 5 semanas de trabajo y produce una ganancia de $7000. El contratista tiene un máximo de 18 semanas para trabajar en ambos proyectos. Teniendo como condición que no podrá realizar más de 3 veces cada proyecto.

1)	Encontrar modelo matemático (20 pts).
2)	Responder ¿Cómo se debe asignar el tiempo para maximizar su ganancia total y cuanto es su ganancia máxima? Resolviendo mediante método gráficos (30 pts).



Para resolver este problema, seguiremos un enfoque de **programación lineal**. El objetivo es maximizar la ganancia del contratista sujeto a restricciones de tiempo y número de proyectos. Aquí está el proceso detallado:

### 1. **Modelo matemático**

#### Definición de variables:

- Sea $ x $ el número de veces que se trabaja en el **Proyecto A**.
- Sea $ y $ el número de veces que se trabaja en el **Proyecto B**.

#### Función objetivo (ganancia total):

El contratista busca maximizar la ganancia total, que se puede expresar como:
\[
Z = 5000x + 7000y
\]
donde:
- $ 5000x $ es la ganancia total por trabajar en el proyecto A $ x $ veces.
- $ 7000y $ es la ganancia total por trabajar en el proyecto B $ y $ veces.

#### Restricciones:

1. **Tiempo total disponible**: El contratista solo tiene 18 semanas para trabajar en total. El proyecto A toma 2 semanas y el proyecto B toma 5 semanas, por lo que la restricción de tiempo es:
   \[
   2x + 5y \leq 18
   \]

2. **Máximo número de proyectos**: No puede realizar más de 3 veces cada proyecto. Esto nos da dos restricciones adicionales:
   \[
   x \leq 3
   \]
   \[
   y \leq 3
   \]

3. **No se pueden hacer fracciones de proyectos**: Las variables deben ser enteras y no negativas:
   \[
   x \geq 0, \quad y \geq 0
   \]

### Modelo matemático completo:

Maximizar:
\[
Z = 5000x + 7000y
\]
Sujeto a:
\[
2x + 5y \leq 18
\]
\[
x \leq 3
\]
\[
y \leq 3
\]
\[
x \geq 0, \quad y \geq 0
\]

---

### 2. **Resolución mediante método gráfico**

Para resolver el problema gráficamente:

1. **Dibujamos las restricciones**:

   - Graficamos $ 2x + 5y = 18 $, que es la restricción del tiempo total.
   - Graficamos las restricciones $ x = 3 $ y $ y = 3 $ (líneas verticales y horizontales).
   - Las condiciones $ x \geq 0 $ y $ y \geq 0 $ indican que estamos en el primer cuadrante.

2. **Encontramos los puntos de intersección** (donde se cruzan las restricciones):

   - Intersección de $ 2x + 5y = 18 $ y $ x = 0 $: 
     \[
     2(0) + 5y = 18 \quad \Rightarrow \quad y = 3.6
     \]
     Como $ y $ debe ser entero, ignoramos este punto.

   - Intersección de $ 2x + 5y = 18 $ y $ y = 0 $: 
     \[
     2x + 5(0) = 18 \quad \Rightarrow \quad x = 9
     \]
     Pero como $ x \leq 3 $, este punto no es válido.

   - Intersección de $ 2x + 5y = 18 $ y $ x = 3 $:
     \[
     2(3) + 5y = 18 \quad \Rightarrow \quad 6 + 5y = 18 \quad \Rightarrow \quad y = 2.4
     \]
     Como $ y $ debe ser entero, probamos con valores más bajos.

3. **Identificamos los puntos viables**:

   El conjunto de soluciones viables estará dado por los puntos enteros dentro de las restricciones. Evaluamos algunos puntos posibles:

   - $ (x = 3, y = 0) $: Ganancia $ Z = 5000(3) + 7000(0) = 15000 $.
   - $ (x = 2, y = 2) $: Ganancia $ Z = 5000(2) + 7000(2) = 24000 $.
   - $ (x = 1, y = 3) $: Ganancia $ Z = 5000(1) + 7000(3) = 26000 $.
   - $ (x = 0, y = 3) $: Ganancia $ Z = 5000(0) + 7000(3) = 21000 $.

4. **Punto óptimo**: El punto que maximiza la ganancia es $ (x = 1, y = 3) $, con una ganancia máxima de **$26,000**.

---

### Resumen de la solución:

- **Modelo matemático**:
  \[
  \text{Maximizar: } Z = 5000x + 7000y
  \]
  \[
  \text{Sujeto a: } 2x + 5y \leq 18, \quad x \leq 3, \quad y \leq 3, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0
  \]

- **Asignación óptima de tiempo**: El contratista debe trabajar **1 vez en el proyecto A** y **3 veces en el proyecto B**.
- **Ganancia máxima**: La ganancia máxima es **$26,000**.

---

¿Te gustaría que te proporcione más detalles sobre el método gráfico o alguna parte del modelo?  
Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para ampliar el tema:

1. ¿Qué otras restricciones podrían agregarse a este modelo en un escenario más complejo?
2. ¿Cómo se resolvería este problema utilizando el método simplex en lugar del gráfico?
3. ¿Qué sucede si el contratista puede trabajar un número fraccionario de proyectos?
4. ¿Cómo se modificaría el modelo si los tiempos y ganancias por proyecto cambian?
5. ¿Qué papel juega la programación entera en la solución de este tipo de problemas?

**Tip**: Cuando graficas restricciones en programación lineal, asegúrate de siempre identificar la región factible antes de calcular el punto óptimo.

Un contratista de construcción tiene dos proyectos en los que puede trabajar. El proyecto A requiere 2 semanas de trabajo y produce una ganancia de $5000, mientras que el proyecto B requiere 5 semanas de trabajo y produce una ganancia de $7000. El contratista tiene un máximo de 18 semanas para trabajar en ambos proyectos. Teniendo como condición que no podrá realizar más de 3 veces cada proyecto. 1) Encontrar modelo matemático (20 pts). 2) Responder ¿Cómo se debe asignar el tiempo para maximizar su ganancia total y cuanto es su ganancia máxima? Resolviendo mediante método gráficos (30 pts).

Discover how to maximize a construction contractor's profit with two projects using linear programming. Learn to build the objective function and solve using the graphical method. This problem explores optimization through constraints such as time and project limits. Suitable for high school students, Grades 10-12.

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