Bạn An có 48 g bột nho và 240 g đường. An muốn pha ch ế thành hai loại nước nho A và B để bán
trong một sự kiện gây quỹ cho lớp. Để pha chế 1 lít nước nho loại A cần 30 g đường và 4 g bột nho; pha
chế 1 lít nước nho loại B cần 20 g đường và 8 g bột nho. Mỗi lít nước nho loại A bán lãi 40 nghìn đồng,
mỗi lít nước nho loại B bán lãi 60 nghìn đồng. Hỏi bạn An nên pha chế bao nhiêu lít nước nho mỗi loại để
thu được lợi nhuận cao nhất ?

Để giải bài toán này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp quy hoạch tuyến tính (linear programming) để tối ưu hóa lợi nhuận.

### Bước 1: Xác định các biến số
Gọi:
- \( x \) là số lít nước nho loại A mà bạn An sẽ pha chế.
- \( y \) là số lít nước nho loại B mà bạn An sẽ pha chế.

### Bước 2: Xác định hàm mục tiêu
Lợi nhuận từ nước nho loại A là \( 40x \) nghìn đồng, và từ nước nho loại B là \( 60y \) nghìn đồng. Vậy lợi nhuận tổng cộng sẽ là:
\[
Z = 40x + 60y
\]
Mục tiêu của chúng ta là tối đa hóa \( Z \).

### Bước 3: Xác định các ràng buộc
Dựa vào lượng bột nho và đường có sẵn, ta có các ràng buộc sau:

1. Ràng buộc về đường:
   \[
   30x + 20y \leq 240
   \]

2. Ràng buộc về bột nho:
   \[
   4x + 8y \leq 48
   \]

3. Điều kiện không âm:
   \[
   x \geq 0, \quad y \geq 0
   \]

### Bước 4: Giải hệ phương trình
Để tìm nghiệm tối ưu, chúng ta cần tìm các giao điểm của các đường giới hạn và sau đó tính giá trị của hàm mục tiêu tại các điểm đó.

**Ràng buộc 1:**
\[
30x + 20y = 240 \implies 3x + 2y = 24 \quad (1)
\]
**Ràng buộc 2:**
\[
4x + 8y = 48 \implies x + 2y = 12 \quad (2)
\]

**Giao điểm của (1) và (2):**
Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
3x + 2y = 24 \\
x + 2y = 12
\end{cases}
\]

Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất:
\[
2x = 12 \implies x = 6
\]
Thay \( x = 6 \) vào \( x + 2y = 12 \):
\[
6 + 2y = 12 \implies 2y = 6 \implies y = 3
\]
Vậy giao điểm là \( (x, y) = (6, 3) \).

Các điểm kiểm tra khác:

- Khi \( x = 0 \), từ (2), \( 2y = 12 \implies y = 6 \). Vậy điểm là \( (0, 6) \).
- Khi \( y = 0 \), từ (1), \( 3x = 24 \implies x = 8 \). Vậy điểm là \( (8, 0) \).

**Tính giá trị hàm mục tiêu tại các điểm này:**

1. Tại \( (6, 3) \):
   \[
   Z = 40(6) + 60(3) = 240 + 180 = 420
   \]

2. Tại \( (0, 6) \):
   \[
   Z = 40(0) + 60(6) = 0 + 360 = 360
   \]

3. Tại \( (8, 0) \):
   \[
   Z = 40(8) + 60(0) = 320 + 0 = 320
   \]

### Kết luận:
Lợi nhuận tối đa \( Z = 420 \) nghìn đồng đạt được khi bạn An pha chế 6 lít nước nho loại A và 3 lít nước nho loại B.

**Bạn có cần chi tiết hơn về cách giải phương trình hoặc quy hoạch tuyến tính không?**

**5 câu hỏi liên quan:**
1. Quy hoạch tuyến tính là gì và ứng dụng như thế nào trong kinh tế?
2. Làm thế nào để vẽ biểu đồ quy hoạch tuyến tính cho bài toán này?
3. Trong trường hợp số lượng bột nho và đường thay đổi, làm thế nào để điều chỉnh bài toán?
4. Có phương pháp nào khác ngoài quy hoạch tuyến tính để giải quyết bài toán tối ưu này không?
5. Nếu lợi nhuận của nước nho thay đổi, làm sao để xác định lại lượng nước nho cần pha chế?

**Mẹo:** Khi gặp các bài toán tối ưu hóa, việc sử dụng phương pháp quy hoạch tuyến tính giúp giải quyết bài toán một cách hiệu quả nhất bằng cách tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa một hàm mục tiêu dưới các ràng buộc nhất định.

Learn how to maximize profit by mixing grape juice types A and B using linear programming. This problem involves optimizing the profit from selling two types of grape juice at a fundraising event. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation