6.工厂要用三种原料1、2、3混合调配出不同规格的产品甲、乙、丙。问：该厂应如何安排生产，使利润最大？
产品名称

规格要求

单价（元/kg）

甲

原材料1不少于50%，原材料2不超过25%

50

乙

原材料1不少于25%，原材料2不超过50%

35

丙

不限

25


原材料名称

每天最多供应量

单价（元/kg）

1

100

65

2

100

25

3

60

25



这是一个典型的线性规划问题，目标是通过确定产品甲、乙、丙的生产量，使得工厂的利润最大化。

### 变量定义
设:
- \( x_1 \) 表示每天生产甲产品的数量（单位：kg）
- \( x_2 \) 表示每天生产乙产品的数量（单位：kg）
- \( x_3 \) 表示每天生产丙产品的数量（单位：kg）

### 目标函数
利润为收入减去成本：

\[
\text{利润} = 50x_1 + 35x_2 + 25x_3 - 65(0.5x_1 + 0.25x_2) - 25(0.25x_1 + 0.5x_2 + x_3)
\]

将其简化为：

\[
\text{利润} = 50x_1 + 35x_2 + 25x_3 - 32.5x_1 - 16.25x_2 - 25x_3 = 17.5x_1 + 18.75x_2
\]

### 约束条件
1. **原料供应限制：**
   - 对于原料1：\( 0.5x_1 + 0.25x_2 + x_3 \leq 100 \)
   - 对于原料2：\( 0.25x_1 + 0.5x_2 + x_3 \leq 100 \)
   - 对于原料3：\( x_3 \leq 60 \)
   
2. **产品配比限制：**
   - 甲产品：原料1不低于50%，原料2不高于25%
   - 乙产品：原料1不低于25%，原料2不高于50%

### 线性规划模型
综合上述条件，线性规划模型为：

\[
\text{最大化} \quad Z = 17.5x_1 + 18.75x_2
\]
\[
\text{约束条件：}
\]
\[
0.5x_1 + 0.25x_2 + x_3 \leq 100
\]
\[
0.25x_1 + 0.5x_2 + x_3 \leq 100
\]
\[
x_3 \leq 60
\]
\[
x_1, x_2, x_3 \geq 0
\]

### 解法
这个问题可以通过单纯形法或使用计算工具来求解，从而得到最优的 \( x_1 \)、\( x_2 \) 和 \( x_3 \) 值，使利润最大化。

是否需要详细的计算步骤？或者是否有其他问题？

### 扩展问题
1. 如果每天的原材料供应量增加到150kg，该如何安排生产？
2. 如果甲产品的单价变为60元/kg，是否会改变最佳生产方案？
3. 如果每天最多生产总量限制为200kg，最佳方案会发生什么变化？
4. 如果工厂决定增加一种新产品丁，其利润高于现有产品，但原料要求更高，如何调整生产？
5. 如果原料3的价格上涨至30元/kg，该如何调整生产？

### 提示
使用软件如Excel的Solver或Python的SciPy库，可以有效地解决线性规划问题。

6.工厂要用三种原料1、2、3混合调配出不同规格的产品甲、乙、丙。问：该厂应如何安排生产，使利润最大？产品名称
规格要求
单价（元/kg）
甲
原材料1不少于50%，原材料2不超过25%
50
乙
原材料1不少于25%，原材料2不超过50%
35
丙
不限
25
原材料名称
每天最多供应量
单价（元/kg）
1
100
65
2
100
25
3
60
25

Solve a linear programming problem where a factory mixes three raw materials to produce products A, B, and C, aiming to maximize profit. Learn how to define variables, set up a profit function, and apply constraints related to raw material availability and product specifications. Suitable for advanced high school or college students.

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