Một cửa hàng bán máy loại A với giá 40 USD/ máy và tại giá bán này khách hàng sẽ mua 60 máy/ tháng. Cửa hàng muốn tăng giá bán và họ ước tính rằng cứ mỗi 1 USD tăng lên trong giá bán thì mỗi tháng cửa hàng sẽ bán ít hơn 2 máy. Biết rằng, chi phí mà cửa hàng phải trả cho nhà sản xuất là 25 USD/ máy. Hỏi cửa hàng nên bán với giá nào thì lợi nhuận thu được của cửa hàng lớn nhất?

Bài toán này thuộc dạng bài tối ưu hóa lợi nhuận. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần xác định lợi nhuận của cửa hàng dựa trên giá bán và số lượng máy bán ra, sau đó tìm giá bán tối ưu để lợi nhuận đạt cực đại.

### Gọi các biến:
- \( x \) là số tiền tăng thêm vào giá bán, nghĩa là giá bán mỗi máy sẽ là \( 40 + x \) (USD).
- Số lượng máy bán ra mỗi tháng sẽ giảm đi khi giá bán tăng, cụ thể là cứ tăng 1 USD thì giảm 2 máy, do đó số lượng máy bán ra là \( 60 - 2x \) (máy).

### Lợi nhuận của cửa hàng:
Lợi nhuận từ mỗi máy là \( (40 + x) - 25 = 15 + x \) (USD), do giá mua máy từ nhà sản xuất là 25 USD/máy.

Tổng lợi nhuận hàng tháng là:
\[
L(x) = (15 + x) \cdot (60 - 2x)
\]

### Tìm giá trị \( x \) để tối ưu lợi nhuận:
Ta sẽ giải phương trình tối ưu hóa bằng cách khai triển phương trình lợi nhuận và tìm giá trị \( x \) sao cho lợi nhuận cực đại.

Khai triển biểu thức lợi nhuận:
\[
L(x) = (15 + x)(60 - 2x) = 15 \cdot 60 - 15 \cdot 2x + x \cdot 60 - x \cdot 2x
\]
\[
L(x) = 900 - 30x + 60x - 2x^2
\]
\[
L(x) = -2x^2 + 30x + 900
\]

Đây là một hàm bậc hai có dạng \( L(x) = -2x^2 + 30x + 900 \), với hệ số \( a = -2 \), \( b = 30 \), và \( c = 900 \).

### Tìm giá trị \( x \) tại điểm cực đại:
Giá trị \( x \) để lợi nhuận đạt cực đại có thể được tìm bằng công thức:
\[
x = \frac{-b}{2a}
\]
Với \( a = -2 \) và \( b = 30 \):
\[
x = \frac{-30}{2 \cdot (-2)} = \frac{30}{4} = 7.5
\]

Vậy giá bán tối ưu là:
\[
40 + x = 40 + 7.5 = 47.5 \, \text{(USD/máy)}
\]

### Kết luận:
Cửa hàng nên bán với giá 47.5 USD/máy để thu được lợi nhuận lớn nhất.

---

Nếu bạn cần thêm thông tin chi tiết về cách giải, hoặc có bất kỳ câu hỏi nào, hãy cho tôi biết!

#### 5 câu hỏi liên quan:
1. Làm thế nào để tính lợi nhuận cho một giá bán khác?
2. Nếu chi phí sản xuất thay đổi, công thức tối ưu hóa sẽ thay đổi như thế nào?
3. Làm sao để xác định được số lượng máy bán ra tại giá tối ưu?
4. Điều gì sẽ xảy ra nếu cửa hàng tiếp tục tăng giá mà không xét đến lợi nhuận tối đa?
5. Có thể tối ưu hóa lợi nhuận nếu thay đổi chiến lược bán hàng khác không?

#### Một mẹo: Trong các bài toán tối ưu hóa, luôn kiểm tra kỹ đơn vị và ý nghĩa của các biến để tránh sai sót khi lập công thức.

Discover how to maximize profit by adjusting the selling price of a product using quadratic equations. This problem involves calculating the optimal price for maximum profit based on cost and demand, applying key algebraic concepts suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation