Cual es el valor de x para obtener el valor máximo 

El valor de \(x\) que maximiza el volumen de la caja se ha determinado resolviendo la derivada de la función de volumen \(V(x) = 324x - 72x^2 + 4x^3\) e identificando los puntos críticos. Al comparar los valores del volumen en esos puntos, hemos encontrado que:

- Para \(x = 3\) cm, el volumen es máximo y positivo.
- Para \(x = 9\) cm, el volumen es cero, lo que no tiene sentido práctico en este contexto, ya que resultaría en una caja plana.

Por lo tanto, **el valor de \(x\) que maximiza el volumen es**:

\[
\boxed{3 \, \text{cm}}
\]

Esto significa que para maximizar el volumen de la caja, se deben recortar cuadrados de \(3 \, \text{cm} \times 3 \, \text{cm}\) en cada esquina del pliego.

---

¿Tienes alguna pregunta adicional sobre este proceso o algo más en lo que pueda ayudarte? Aquí hay algunas preguntas relacionadas que podrías considerar:

1. ¿Cómo se verifica que \(x = 3\) es efectivamente un máximo usando la segunda derivada?
2. ¿Cuál es el volumen máximo que se puede obtener con \(x = 3\) cm?
3. ¿Qué sucede si intentas usar valores de \(x\) fuera del rango de 0 a 9?
4. ¿Cómo cambiaría el resultado si el pliego tuviera dimensiones diferentes?
5. ¿Cómo se relaciona este problema con otros problemas de optimización geométrica?

**Tip**: En problemas de optimización, siempre verifica los extremos del dominio para asegurarte de que has encontrado el valor máximo o mínimo correcto.

Explore how to maximize the volume of a box by determining the optimal value of x using calculus. This problem involves finding critical points of the volume function V(x) = 324x - 72x^2 + 4x^3. Learn why x = 3 cm maximizes volume and its practical implications.

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