CON UN PLIEGO DE 18 cm x 18 cm SE QUIERE CONSTRUIR UNA CAJA SIN TAPA, MAXIMIZANDO EL AREA, Y RECORTANDO CUADRADOS EN LAS ESQUINAS. DANDO SOLUCION A LOS SIGUIENTES PUNTOS.

A) CONSTRUIR LA FUNCION QUE QUEREMOS MAXIMIZAR, EXPLICANDO COMO SE OBTUVO

Para resolver este problema de maximización, necesitamos construir la función que representa el volumen de la caja en términos de la variable que se puede ajustar, y luego maximizar esa función.

### Paso 1: Definir la variable
Sea \( x \) el lado de los cuadrados que se van a recortar en las esquinas del pliego. Entonces, al doblar las solapas resultantes, formamos una caja abierta (sin tapa).

### Paso 2: Expresar las dimensiones de la caja en términos de \( x \)
- **Longitud de la base**: Al recortar cuadrados de lado \( x \) en las esquinas, la longitud de la base de la caja será \( 18 - 2x \) (porque se resta dos veces \( x \), una por cada lado).
- **Anchura de la base**: Similarmente, la anchura de la base también será \( 18 - 2x \).
- **Altura de la caja**: La altura de la caja será igual al lado del cuadrado recortado, es decir, \( x \).

### Paso 3: Expresar el volumen en términos de \( x \)
El volumen \( V \) de la caja es el producto de la longitud, la anchura y la altura:

\[
V(x) = (18 - 2x)(18 - 2x)(x)
\]

Simplificando, tenemos:

\[
V(x) = x(18 - 2x)^2
\]

### Paso 4: Explicar cómo se obtuvo la función
La función \( V(x) = x(18 - 2x)^2 \) se obtuvo considerando que el volumen de la caja se calcula como el producto de sus tres dimensiones: la base (que es cuadrada y de dimensiones \( 18 - 2x \)) y la altura (que es \( x \)). 

### Conclusión
La función que queremos maximizar es el volumen de la caja, que está dada por:

\[
V(x) = x(18 - 2x)^2
\]

Esta es la función que debemos maximizar para encontrar el tamaño del cuadrado \( x \) que debemos recortar para obtener el máximo volumen.

---

¿Te gustaría que exploremos el siguiente paso de esta solución, que sería encontrar el valor de \( x \) que maximiza el volumen, o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se deriva la función para encontrar el valor de \( x \) que maximiza el volumen?
2. ¿Qué ocurre si el valor de \( x \) es demasiado grande o demasiado pequeño?
3. ¿Cómo afectaría un cambio en las dimensiones iniciales del pliego a la función \( V(x) \)?
4. ¿Qué suposiciones estamos haciendo sobre la caja que podría no ser realista?
5. ¿Cómo podemos verificar que el valor de \( x \) que encontramos realmente maximiza el volumen y no lo minimiza?

### Tip:
Cuando trabajes con problemas de optimización, siempre es útil dibujar un diagrama o bosquejo del problema para visualizar cómo las variables interactúan entre sí. Esto te ayudará a entender mejor cómo formular la función que necesitas maximizar o minimizar.

Learn how to maximize the volume of an open box without a lid using geometric optimization. Understand the step-by-step solution involving the volume formula V(x) = x(18 - 2x)^2. Suitable for high school students studying geometry and optimization problems.

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