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Para resolver el ejercicio 8 de la sección 1, haremos lo siguiente:

### Ejercicio 8

**Problema:**
De una lámina cuadrada de metal de 24 cm de lado se construye una bandeja abierta de \( x \) cm de profundidad, cortando de cada esquina un cuadrado de \( x \) cm y doblando a lo largo de la línea punteada, como se muestra en el diagrama.

**Solución:**

1. **Mostrar que el volumen de la bandeja es \( 4x (144 - 24x + x^2) \) cm³:**

   - Comenzamos definiendo el problema. La lámina cuadrada tiene un lado de 24 cm. 
   - Si cortamos un cuadrado de \( x \) cm de cada esquina, el tamaño de la base de la bandeja será \( (24 - 2x) \) cm, tanto en longitud como en anchura.
   - La profundidad de la bandeja será \( x \) cm.
   - El volumen \( V \) de la bandeja es el área de la base multiplicada por la altura (profundidad):

   \[
   V = (24 - 2x)^2 \cdot x
   \]

   - Desarrollamos el cuadrado:

   \[
   (24 - 2x)^2 = 24^2 - 2 \cdot 24 \cdot 2x + (2x)^2
   \]

   \[
   (24 - 2x)^2 = 576 - 96x + 4x^2
   \]

   - Sustituimos en la fórmula del volumen:

   \[
   V = x (576 - 96x + 4x^2)
   \]

   - Factorizamos \( x \) fuera:

   \[
   V = 4x (144 - 24x + x^2)
   \]

2. **Encontrar el valor de \( x \) que maximiza este volumen:**

   - Tomamos la derivada de la función de volumen respecto a \( x \):

   \[
   V(x) = 4x (144 - 24x + x^2)
   \]

   \[
   \frac{dV}{dx} = 4(144 - 24x + x^2) + 4x(-24 + 2x)
   \]

   \[
   \frac{dV}{dx} = 4(144 - 24x + x^2) + 4x(-24 + 2x)
   \]

   \[
   \frac{dV}{dx} = 4(144 - 24x + x^2 - 24x + 2x^2)
   \]

   \[
   \frac{dV}{dx} = 4(144 - 48x + 3x^2)
   \]

   - Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos:

   \[
   0 = 4(144 - 48x + 3x^2)
   \]

   \[
   0 = 144 - 48x + 3x^2
   \]

   - Resolviendo la ecuación cuadrática \( 3x^2 - 48x + 144 = 0 \):

   \[
   x = \frac{48 \pm \sqrt{48^2 - 4 \cdot 3 \cdot 144}}{2 \cdot 3}
   \]

   \[
   x = \frac{48 \pm \sqrt{2304 - 1728}}{6}
   \]

   \[
   x = \frac{48 \pm \sqrt{576}}{6}
   \]

   \[
   x = \frac{48 \pm 24}{6}
   \]

   \[
   x = \frac{72}{6} \text{ o } x = \frac{24}{6}
   \]

   \[
   x = 12 \text{ o } x = 4
   \]

   - Debemos verificar cuál de estos valores maximiza el volumen, para esto podemos analizar el signo de la segunda derivada en estos puntos:

   \[
   \frac{d^2V}{dx^2} = 4 \cdot \frac{d}{dx}(144 - 48x + 3x^2)
   \]

   \[
   \frac{d^2V}{dx^2} = 4(-48 + 6x)
   \]

   - Evaluamos en \( x = 4 \) y \( x = 12 \):

   \[
   \frac{d^2V}{dx^2} \Bigg|_{x=4} = 4(-48 + 6 \cdot 4) = 4(-48 + 24) = 4(-24) = -96 < 0
   \]

   \[
   \frac{d^2V}{dx^2} \Bigg|_{x=12} = 4(-48 + 6 \cdot 12) = 4(-48 + 72) = 4(24) = 96 > 0
   \]

   - Como la segunda derivada es negativa en \( x = 4 \), este punto corresponde a un máximo.

### Resumen

- El volumen de la bandeja es \( 4x (144 - 24x + x^2) \) cm³.
- El valor de \( x \) que maximiza este volumen es \( x = 4 \) cm.

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta sobre el proceso? Aquí tienes algunas preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Cómo se deriva la fórmula del volumen para una bandeja abierta a partir de una lámina cuadrada?
2. ¿Por qué es importante considerar la segunda derivada al encontrar máximos o mínimos?
3. ¿Qué otras aplicaciones prácticas existen para los problemas de optimización en geometría?
4. ¿Cómo se resolvería un problema similar con una lámina rectangular en lugar de cuadrada?
5. ¿Qué ocurre con el volumen si los cortes en las esquinas no son cuadrados?

**Tip:** En problemas de optimización, siempre verifica tus resultados usando la segunda derivada para confirmar si has encontrado un máximo o un mínimo.

Solve the problem of maximizing the volume of a tray made from a square sheet of metal with a side of 24 cm by cutting squares from each corner and folding it. Learn how to derive and use the formula V = 4x(144 - 24x + x^2) to find the value of x that maximizes the volume.

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