c=a/25+b/50,n=2+(b/20)%,a+b=10000,N=cn,问当a与b取何值时N最大

给定如下方程：

1. \( c = \frac{a}{25} + \frac{b}{50} \)
2. \( n = 2 + \frac{b}{20}\% \)
3. \( a + b = 10,000 \)
4. \( N = cn \)

我们需要找出在 \( a + b = 10,000 \) 的条件下，使得 \( N \) 最大时的 \( a \) 和 \( b \) 的值。

### 步骤1：用 \( b \) 表示 \( a \)
由 \( a + b = 10,000 \)，我们可以得到 \( a = 10,000 - b \)。

### 步骤2：代入方程简化
将 \( a = 10,000 - b \) 代入 \( c \) 和 \( n \) 的公式中：

\[ c = \frac{10,000 - b}{25} + \frac{b}{50} = 400 - \frac{b}{25} + \frac{b}{50} = 400 - \frac{b}{50} \]
\[ n = 2 + \frac{b}{20}\% = 2 + \frac{b}{2000} \]

### 步骤3：表达式 \( N = cn \)
代入 \( c \) 和 \( n \) 的表达式：

\[ N = cn = \left(400 - \frac{b}{50}\right)\left(2 + \frac{b}{2000}\right) \]

展开：

\[ N = (400 - \frac{b}{50})(2 + \frac{b}{2000}) = 800 + \frac{400b}{2000} - \frac{2b}{50} - \frac{b^2}{100000} \]

进一步简化：

\[ N = 800 + 0.2b - 0.04b - \frac{b^2}{100000} \]
\[ N = 800 + 0.16b - \frac{b^2}{100000} \]

### 步骤4：求最大值
通过对 \( N \) 进行求导并设导数为零，求出 \( b \) 的最优值。

\[
\frac{dN}{db} = 0.16 - \frac{2b}{100000} = 0
\]

解方程：

\[
\frac{2b}{100000} = 0.16
\]

\[
b = \frac{0.16 \times 100000}{2} = 8000
\]

由于 \( a + b = 10,000 \)，我们有：

\[
a = 10,000 - b = 10,000 - 8000 = 2000
\]

### 结论：
当 \( a = 2000 \) 和 \( b = 8000 \) 时，\( N \) 达到最大值。

要详细了解每个步骤，或者对这题有任何问题，请告诉我！  

以下是几个相关问题：

1. 如何求解不等式的最值？
2. 如果改变 \( a + b = 10,000 \) 的条件，如何影响结果？
3. 如何通过二次函数求极值？
4. 如果增加更多变量，求极值的方法会怎么变化？
5. 如何将类似问题推广到更高维度？

**提示**：在多变量函数中，找出极值通常涉及偏导数和二阶导数测试。

Learn how to maximize N using linear equations and optimization techniques with a detailed step-by-step solution. This problem covers key concepts in linear equations and percentage calculations. Suitable for high school students.

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