10 problemas completos de ley de seno y ley de coseno explicados paso a paso 

Aquí te presento 10 problemas completos utilizando la Ley de Seno y la Ley de Coseno, explicados paso a paso.

### Problema 1: Ley de Seno
**Enunciado:** En un triángulo \(ABC\), los ángulos \(A\) y \(B\) miden \(30^\circ\) y \(45^\circ\) respectivamente. El lado \(a\) opuesto al ángulo \(A\) mide 10 cm. Calcula el lado \(b\).

**Solución:**
1. Usamos la Ley de Seno:
   \[
   \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
   \]
2. Sustituimos los valores conocidos:
   \[
   \frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}
   \]
3. Calculamos los senos:
   \[
   \frac{10}{0.5} = \frac{b}{\sqrt{2}/2}
   \]
4. Resolvemos para \(b\):
   \[
   20 = \frac{b}{\sqrt{2}/2} \implies b = 20 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \implies b = 10\sqrt{2} \approx 14.14 \text{ cm}
   \]

### Problema 2: Ley de Seno
**Enunciado:** En un triángulo \(ABC\), \(A = 60^\circ\), \(B = 45^\circ\) y el lado \(c = 8\) cm. Encuentra el lado \(a\).

**Solución:**
1. Calculamos el ángulo \(C\) usando la suma de los ángulos de un triángulo:
   \[
   C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ
   \]
2. Aplicamos la Ley de Seno:
   \[
   \frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\sin 75^\circ}
   \]
3. Resolvemos para \(a\):
   \[
   a = \frac{8 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.866}{0.9659} \approx 7.18 \text{ cm}
   \]

### Problema 3: Ley de Coseno
**Enunciado:** En un triángulo \(ABC\), los lados \(a = 7\) cm, \(b = 5\) cm y el ángulo \(C = 120^\circ\). Encuentra el lado \(c\).

**Solución:**
1. Usamos la Ley de Coseno:
   \[
   c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C
   \]
2. Sustituimos los valores:
   \[
   c^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \times 7 \times 5 \times \cos 120^\circ
   \]
3. Calculamos:
   \[
   c^2 = 49 + 25 + 70 \times (-0.5) = 74 + 35 = 109
   \]
   \[
   c = \sqrt{109} \approx 10.44 \text{ cm}
   \]

### Problema 4: Ley de Coseno
**Enunciado:** En un triángulo \(ABC\), los lados \(a = 6\) cm, \(b = 9\) cm, \(c = 10\) cm. Encuentra el ángulo \(C\).

**Solución:**
1. Usamos la Ley de Coseno:
   \[
   c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C
   \]
2. Sustituimos los valores:
   \[
   10^2 = 6^2 + 9^2 - 2 \times 6 \times 9 \times \cos C
   \]
   \[
   100 = 36 + 81 - 108\cos C
   \]
3. Simplificamos:
   \[
   100 = 117 - 108\cos C \implies 108\cos C = 17 \implies \cos C = \frac{17}{108} \approx 0.1574
   \]
4. Finalmente, calculamos el ángulo \(C\):
   \[
   C \approx \cos^{-1}(0.1574) \approx 81^\circ
   \]

### Problema 5: Ley de Seno
**Enunciado:** En un triángulo \(ABC\), los ángulos \(A = 40^\circ\), \(B = 70^\circ\) y el lado \(b = 7\) cm. Calcula el lado \(a\).

**Solución:**
1. Calculamos el ángulo \(C\):
   \[
   C = 180^\circ - 40^\circ - 70^\circ = 70^\circ
   \]
2. Aplicamos la Ley de Seno:
   \[
   \frac{a}{\sin 40^\circ} = \frac{7}{\sin 70^\circ}
   \]
3. Resolvemos para \(a\):
   \[
   a = \frac{7 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 70^\circ} \approx \frac{7 \cdot 0.6428}{0.9397} \approx 4.79 \text{ cm}
   \]

### Problema 6: Ley de Coseno
**Enunciado:** En un triángulo \(ABC\), los lados \(a = 8\) cm, \(b = 11\) cm, y \(c = 13\) cm. Encuentra el ángulo \(A\).

**Solución:**
1. Usamos la Ley de Coseno:
   \[
   a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
   \]
2. Sustituimos los valores:
   \[
   8^2 = 11^2 + 13^2 - 2 \times 11 \times 13 \times \cos A
   \]
   \[
   64 = 121 + 169 - 286\cos A
   \]
3. Simplificamos:
   \[
   64 = 290 - 286\cos A \implies 286\cos A = 226 \implies \cos A = \frac{113}{143} \approx 0.791
   \]
4. Calculamos \(A\):
   \[
   A \approx \cos^{-1}(0.791) \approx 37^\circ
   \]

### Problema 7: Ley de Seno
**Enunciado:** En un triángulo \(ABC\), \(A = 25^\circ\), \(B = 55^\circ\), y el lado \(a = 6\) cm. Encuentra el lado \(b\).

**Solución:**
1. Calculamos \(C\):
   \[
   C = 180^\circ - 25^\circ - 55^\circ = 100^\circ
   \]
2. Aplicamos la Ley de Seno:
   \[
   \frac{6}{\sin 25^\circ} = \frac{b}{\sin 55^\circ}
   \]
3. Resolvemos para \(b\):
   \[
   b = \frac{6 \cdot \sin 55^\circ}{\sin 25^\circ} \approx \frac{6 \cdot 0.8192}{0.4226} \approx 11.65 \text{ cm}
   \]

### Problema 8: Ley de Coseno
**Enunciado:** En un triángulo \(ABC\), los lados \(a = 9\) cm, \(b = 12\) cm, y el ángulo \(C = 90^\circ\). Calcula el lado \(c\).

**Solución:**
1. Usamos la Ley de Coseno:
   \[
   c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C
   \]
2. Sustituimos \(C = 90^\circ\), donde \(\cos 90^\circ = 0\):
   \[
   c^2 = 9^2 + 12^2 - 0 = 81 + 144 = 225
   \]
3. Resolvemos para \(c\):
   \[
   c = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
   \]

### Problema 9: Ley de Seno
**Enunciado:** En un triángulo \(ABC\), \(A = 50^\circ\), \(B = 60^\circ\), y el lado \(c = 9\) cm. Encuentra el lado \(a\).

**Solución:**
1. Calculamos \(C\):
   \[
   C = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ
   \]
2. Aplicamos la Ley de Seno:
  

Explore 10 complete problems using the Law of Sines and Law of Cosines, each explained step-by-step. Topics covered include trigonometric principles, triangle angle calculations, and side length determinations. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation