La empresa "Mi Mesa" fabrica muebles de calidad. En la fábrica existen dos talleres: el taller de máquinas donde se fabrican las piezas y el taller de ensamble donde se unen las partes para obtener el producto terminado. Suponga que se tienen 12 empleados en el taller de máquinas y 20 en el taller de ensamble, y que cada empleado trabaja 8 horas. Suponga que se producen dos artículos: sillas y mesas. Una silla requiere 384/17 horas de maquinado y 480/17 horas de ensamble. Una mesa requiere 240/17 horas de maquinado y 640/17 horas de ensamble. Suponiendo que se tiene una demanda ilimitada de estos productos y que el fabricante quiere mantener ocupados a todos sus empleados, ¿cuántas sillas y cuántas mesas al día puede producir esta fábrica? 

Este problema es un caso típico de optimización lineal, donde buscamos maximizar la producción de sillas y mesas bajo ciertas restricciones de capacidad de trabajo en los talleres de máquinas y de ensamble.

### Datos del problema:

1. **Empleados y tiempo de trabajo diario**:
   - Taller de máquinas: 12 empleados trabajando 8 horas al día, lo que da un total de \( 12 \times 8 = 96 \) horas diarias de trabajo en el taller de máquinas.
   - Taller de ensamble: 20 empleados trabajando 8 horas al día, lo que da un total de \( 20 \times 8 = 160 \) horas diarias de trabajo en el taller de ensamble.

2. **Tiempos requeridos para producir una silla**:
   - Maquinado: \( \frac{384}{17} \) horas por silla.
   - Ensamble: \( \frac{480}{17} \) horas por silla.

3. **Tiempos requeridos para producir una mesa**:
   - Maquinado: \( \frac{240}{17} \) horas por mesa.
   - Ensamble: \( \frac{640}{17} \) horas por mesa.

### Variables:
Sea \( x \) el número de sillas que se producen al día y \( y \) el número de mesas que se producen al día.

### Restricciones:

1. **Restricción del taller de máquinas**:
   El tiempo total empleado en el maquinado no debe exceder las 96 horas disponibles por día:
   \[
   \frac{384}{17}x + \frac{240}{17}y \leq 96
   \]

2. **Restricción del taller de ensamble**:
   El tiempo total empleado en el ensamble no debe exceder las 160 horas disponibles por día:
   \[
   \frac{480}{17}x + \frac{640}{17}y \leq 160
   \]

### Sistema de ecuaciones de restricciones:
\[
\frac{384}{17}x + \frac{240}{17}y \leq 96
\]
\[
\frac{480}{17}x + \frac{640}{17}y \leq 160
\]

### Simplificación de las ecuaciones:
Multiplicamos ambas ecuaciones por 17 para eliminar los denominadores:

1. **Taller de máquinas**:
   \[
   384x + 240y \leq 96 \times 17 = 1632
   \]

2. **Taller de ensamble**:
   \[
   480x + 640y \leq 160 \times 17 = 2720
   \]

### Método de resolución:
Resolveremos el sistema para maximizar la producción de \( x \) (sillas) y \( y \) (mesas) sin exceder las restricciones de los talleres. Esto se puede hacer resolviendo el sistema de desigualdades o mediante un análisis gráfico.

Primero, veamos qué puntos satisfacen ambas restricciones. Intentaremos varios valores de \( x \) y \( y \) y determinaremos si cumplen con ambas desigualdades.La solución al sistema de ecuaciones indica que la fábrica puede producir **3 sillas** y **2 mesas** al día, manteniendo ocupados a todos los empleados en los talleres de máquinas y ensamble sin exceder las horas disponibles.

¿Te gustaría ver más detalles sobre el proceso o tienes alguna otra pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas adicionales relacionadas con este problema:

1. ¿Cómo afecta el número de empleados al número de sillas y mesas que se pueden producir?
2. ¿Qué sucedería si se aumentara el número de horas de trabajo por día?
3. ¿Cómo cambiarían los resultados si la demanda de mesas fuera limitada?
4. ¿Cómo se podría utilizar un enfoque gráfico para visualizar las restricciones?
5. ¿Qué pasaría si se modificaran los tiempos de maquinado o ensamble por cada producto?

**Tip**: En problemas de optimización como este, a menudo es útil dibujar las restricciones en un plano y buscar la región factible donde ambas restricciones se cumplen.

La empresa 'Mi Mesa' fabrica muebles de calidad. En la fábrica existen dos talleres: el taller de máquinas donde se fabrican las piezas y el taller de ensamble donde se unen las partes para obtener el producto terminado. Suponga que se tienen 12 empleados en el taller de máquinas y 20 en el taller de ensamble, y que cada empleado trabaja 8 horas. Suponga que se producen dos artículos: sillas y mesas. Una silla requiere 384/17 horas de maquinado y 480/17 horas de ensamble. Una mesa requiere 240/17 horas de maquinado y 640/17 horas de ensamble. Suponiendo que se tiene una demanda ilimitada de estos productos y que el fabricante quiere mantener ocupados a todos sus empleados, ¿cuántas sillas y cuántas mesas al día puede producir esta fábrica?

Solve how many chairs and tables 'Mi Mesa' can produce per day by optimizing under factory constraints. The problem involves linear programming concepts, including system of inequalities for machining and assembly time. This detailed solution applies to university-level students interested in optimization techniques.

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