lanzan una bola desde una altura inicial de 3 pies con una velocidad inicial ascendente de 37 ft/s. La altura de la bola h(en pies) después de t segundos se obtiene por lo siguiente.
Hallar todos los valores de t  para los cuales la altura de la bola es 23  pies.
Redondear la(s) respuesta(s) a la centésima más cercana.

La altura de la bola \( h(t) \) después de \( t \) segundos puede ser modelada por la siguiente ecuación de movimiento bajo la influencia de la gravedad:

\[ h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \]

donde:
- \( h_0 \) es la altura inicial (3 pies),
- \( v_0 \) es la velocidad inicial (37 ft/s),
- \( g \) es la aceleración debida a la gravedad (aproximadamente \( 32.2 \, \text{ft/s}^2 \)).

Queremos encontrar los valores de \( t \) para los cuales la altura de la bola \( h(t) \) es 23 pies. Sustituimos \( h(t) = 23 \) en la ecuación:

\[ 23 = 3 + 37t - \frac{1}{2} \cdot 32.2 \cdot t^2 \]

Simplificamos la ecuación:

\[ 23 = 3 + 37t - 16.1t^2 \]

\[ 0 = 3 + 37t - 16.1t^2 - 23 \]

\[ 0 = -16.1t^2 + 37t - 20 \]

Para resolver esta ecuación cuadrática, podemos usar la fórmula cuadrática:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

donde \( a = -16.1 \), \( b = 37 \), y \( c = -20 \).

Calculamos el discriminante:

\[ b^2 - 4ac = 37^2 - 4(-16.1)(-20) \]
\[ = 1369 - 1288 \]
\[ = 81 \]

Entonces, los valores de \( t \) son:

\[ t = \frac{-37 \pm \sqrt{81}}{2(-16.1)} \]
\[ t = \frac{-37 \pm 9}{-32.2} \]

Calculamos ambos valores de \( t \):

\[ t_1 = \frac{-37 + 9}{-32.2} = \frac{-28}{-32.2} \approx 0.87 \]
\[ t_2 = \frac{-37 - 9}{-32.2} = \frac{-46}{-32.2} \approx 1.43 \]

Por lo tanto, los valores de \( t \) para los cuales la altura de la bola es 23 pies son aproximadamente \( t = 0.87 \) segundos y \( t = 1.43 \) segundos.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

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### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Qué otros valores de altura podría alcanzar la bola con esta ecuación?
2. ¿Cómo cambiaría la ecuación si la bola se lanzara desde una altura diferente?
3. ¿Qué papel juega la aceleración de la gravedad en esta ecuación?
4. ¿Cómo afectarían diferentes valores de velocidad inicial el tiempo para alcanzar cierta altura?
5. ¿Qué otros métodos se pueden utilizar para resolver ecuaciones cuadráticas?
6. ¿Cómo se determina el tiempo máximo de vuelo de la bola?
7. ¿Qué es el vértice de una parábola y cómo se relaciona con este problema?
8. ¿Cómo se puede graficar la ecuación de altura para visualizar el movimiento de la bola?

### Consejo:
Cuando resuelvas ecuaciones cuadráticas, verifica siempre tus soluciones sustituyéndolas de nuevo en la ecuación original para asegurarte de que sean correctas.

Explore how to find the time values when a projectile launched from 3 feet with an initial upward velocity of 37 ft/s reaches a height of 23 feet. Learn the equation of motion under gravity and solve quadratic equations step-by-step. Suitable for high school students.

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