Suponga que T transforma v1 = (1, 0) a T(v1) = (2, 3, 4) y que el vector de segunda base v2 = (0, 1) se transforma en T(v2) = (5, 5, 5). ¿ Cuál es la matriz A que representa a T?. ¿Qué valores tienen los elementos de T para definir la transformación?

Para encontrar la matriz \( A \) que representa la transformación lineal \( T \), necesitamos expresar cómo la transformación actúa sobre los vectores de la base. En este caso, se nos dan los siguientes datos:

- \( T(v_1) = T((1, 0)) = (2, 3, 4) \)
- \( T(v_2) = T((0, 1)) = (5, 5, 5) \)

Dado que \( v_1 = (1, 0) \) y \( v_2 = (0, 1) \) son los vectores de la base estándar en \(\mathbb{R}^2\), podemos representar la transformación \( T \) mediante la matriz \( A \) tal que:

\[
A = \begin{pmatrix} T(v_1) & T(v_2) \end{pmatrix}
\]

Sustituyendo los valores conocidos:

\[
A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 5 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}
\]

Así que la matriz \( A \) que representa la transformación \( T \) es:

\[
A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 5 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}
\]

**Valores de los elementos de \( A \):**
- Primer columna: corresponde a la transformación de \( v_1 = (1, 0) \) y es \((2, 3, 4)\).
- Segunda columna: corresponde a la transformación de \( v_2 = (0, 1) \) y es \((5, 5, 5)\).

¿Te gustaría que exploremos más detalles sobre cómo se forma la matriz de transformación o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se verifica si una transformación es lineal usando matrices?
2. ¿Qué sucede si \( v_1 \) y \( v_2 \) no son ortogonales?
3. ¿Cómo se relaciona esta transformación con el cambio de base en \(\mathbb{R}^3\)?
4. ¿Qué propiedades tiene la matriz \( A \) y cómo afectan a la transformación?
5. ¿Cómo se encuentran los valores propios de la matriz \( A \)?

**Tip:** Las columnas de la matriz de transformación \( A \) corresponden a las imágenes de los vectores de la base bajo la transformación \( T \).

Explore how to find the matrix A that represents the linear transformation T, given specific vector transformations. Understand the concept of linear transformations and matrix representations in linear algebra. Suitable for advanced mathematics students and learners interested in linear algebra.

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