Dada a matriz
\[A=\begin{bmatrix}
3 & -5 & 1 \\ 
1 & 1 & 1 \\ 
-1 & 5 & -2 \\ 
3 & -7 & 8
\end{bmatrix},\]
determine a transformação de $T \colon M_{3 \times 1} \rightarrow M_{2 \times 2}$, onde $[T]_{B,B'}=A$ e as bases $B$ e $B'$ são dadas por
\[B=\left\{ \begin{pmatrix}
1 \\ 
1 \\ 
1
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
1 \\ 
1 \\ 
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 \\ 
0 \\ 
0
\end{pmatrix}\right\}
\]
e
\[B' = \left\{ 
\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\ 
0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 
-1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\ 
0 & 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 
0 & 1
\end{pmatrix}
\right\}.\]

Para determinar a transformação linear $ T: M_{3 \times 1} \rightarrow M_{2 \times 2} $ associada à matriz $ A $ em relação às bases $ B $ e $ B' $, precisamos primeiro entender a relação entre os vetores das bases e como a matriz $ A $ representa essa transformação.

### Passos:
1. **Entender as bases**:
   - A base $ B $ é formada por vetores de $ M_{3 \times 1} $ (vetores coluna $ 3 \times 1 $).
   - A base $ B' $ é formada por vetores de $ M_{2 \times 2} $ (matrizes $ 2 \times 2 $).

2. **Identificar a matriz da transformação $ T $**:
   - A matriz $ A $ dada é $ [T]_{B,B'} $, ou seja, representa a transformação $ T $ na base $ B $ em $ M_{3 \times 1} $ e na base $ B' $ em $ M_{2 \times 2} $.
   - $ A = \begin{bmatrix} 3 & -5 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 5 & -2 \\ 3 & -7 & 8 \end{bmatrix} $.

3. **Aplicar a transformação**:
   Para determinar a transformação linear $ T $ em si, precisamos aplicar $ T $ aos vetores da base $ B $ e expressar os resultados em termos dos vetores da base $ B' $.

   - Seja $ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $, $ \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $, e $ \mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $ os vetores de $ B $.
   - Seja $ \mathbf{w}_1 = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $, $ \mathbf{w}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $, $ \mathbf{w}_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $, $ \mathbf{w}_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $ os vetores de $ B' $.

   A transformação de cada vetor $ \mathbf{v}_i $ de $ B $ é dada por uma combinação linear dos vetores $ \mathbf{w}_j $ de $ B' $ com coeficientes fornecidos pelas colunas de $ A $.

4. **Determinar $ T(\mathbf{v}_i) $**:
   - $ T(\mathbf{v}_1) = 3\mathbf{w}_1 + 1\mathbf{w}_2 - 1\mathbf{w}_3 + 3\mathbf{w}_4 $.
   - $ T(\mathbf{v}_2) = -5\mathbf{w}_1 + 1\mathbf{w}_2 + 5\mathbf{w}_3 - 7\mathbf{w}_4 $.
   - $ T(\mathbf{v}_3) = 1\mathbf{w}_1 + 1\mathbf{w}_2 - 2\mathbf{w}_3 + 8\mathbf{w}_4 $.

Substituindo os vetores $ \mathbf{w}_j $:

\[
T(\mathbf{v}_1) = 3\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} - 1\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\]

\[
T(\mathbf{v}_1) = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
\]

Realizando o mesmo processo para $ T(\mathbf{v}_2) $ e $ T(\mathbf{v}_3) $:

\[
T(\mathbf{v}_2) = \begin{pmatrix} -5 & 5 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & 5 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}
\]

\[
T(\mathbf{v}_3) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -1 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}
\]

### Conclusão:
A transformação $ T $ pode ser definida como:

\[
T\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\right) = x_1 \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} + x_2 \begin{pmatrix} -11 & 5 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} 10 & -1 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}
\]

### Perguntas Relacionadas:
1. Como encontrar a transformação linear inversa de $ T $?
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8. Como representar $ T $ de forma matricial usando a base canônica?

**Dica**: Quando calcular uma transformação linear, verifique se os vetores de base são linearmente independentes para garantir que a matriz de transformação seja válida.

Explore the linear transformation T: M_{3x1} to M_{2x2} using matrix A with bases B and B'. Understand how matrix A represents this transformation and apply it to basis vectors. Ideal for advanced mathematics enthusiasts.

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